Дана прямоугольная матрица

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Матрица А имеет С^k_m^·С^k_n миноров k-го порядка.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А, отличные от нуля.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок невырожденного минора этой матрицы.

Если матрица нулевая, то ранг ее принимается равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы А обозначается r(A). Если r(A) = r(B), то матрицы А и В называются эквивалентными.

В этом случае пишут А ~ В.

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимают:

1) замену строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

2) перестановку строк;

3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение.

Первую строку перепишем.

От элементов второй строки вычтем соответствующие элементы первой строки и запишем во вторую строку.

От элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 5.

Четвертую строку перепишем.

Первую строку перепишем.

Вторую и третью строки разделим на 2 и запишем соответственно на место второй и третьей строки.

Четвертую строку перепишем.

Первую, вторую и червертую строки перепишем.

На место третьей строки поставим разность третьей и второй, умноженной на 3.

Первую, вторую и червертую строки перепишем.

Третью строку разделим на (-4).

От первой строки отнимем четвертую, умноженную на 3.

Вторую строку перепишем.

На место третьей строки поставим четвертую.

На место четвертой строки поставим разность третьей и четвертой.

От первой строки вычтем четвертую, умноженную на 2.

От второй строки вычтем четвертую.

Третью и четвертую строки перепишем.

Ранг данной матрицы равен 4, т.к. получили единичную квадратную матрицу четвертого порядка (определитель единичной матрицы всегда равен 1, т.е. отличен от нуля, что по определению означает, что матрица невырожденная).

Замечание. Ранг данной матрицы можно было найти непосредственно вычислив определитель и доказав, что он не равен нулю.