В доме своего наставника Леонард Эйлер завязал дружбу с его сыновьями Даниилом и Николаем, также даровитыми математиками. В маленькой Швейцарии подходящей должности для трех друзей не нашлось. К счастью, в то время в столице России — Петербурге готовилось учреждение Академии наук, и всем троим удалось получить приглашение на работу в ней. Петербургская академия (ныне Академия наук РФ) была открыта в 1725 г., и в том же году приехали в Россию братья Бернулли. Эйлер прибыл в Петербург несколько позднее, весной 1727 г.

Ему было всего 20 лет, но математические дарования чаще всего ярко проявляются уже в молодости. В Петербурге Эйлер попал в круг, выдающихся ученых — математиков, физиков и астрономов, получил широкие возможности для издания трудов, полное материальное обеспечение. Он с увлечением принялся за работу, и в ученых записках академии появляются его статьи, привлекающие интерес ученых всей Европы. А вскоре он становится, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Неустойчивое и тревожное положение, создавшееся во время регентства Анны Леопольдовны, заставило Эйлера в 1741 г. перейти на работу в Берлинскую академию наук. При этом он сохранил самые тесные связи с Россией. Эйлер регулярно печатает в изданиях Петербургской академии примерно половину своих статей, редактирует математический отдел ее ученых записок, сообщает в своих частых письмах научные новости и т. д. Годами в берлинском доме Эйлера жили молодые русские ученые, с которыми он вел занятия. Положение дел в Берлинской академии наук во многом не удовлетворяло Эйлера, и в 1766 г. он вернулся в Петербург.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Опираясь на свои изумительные способности, он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него и более громоздкие вычисления. О работоспособности Эйлера на склоне лет говорит такой феноменальный факт: за 1777 г. он с секретарем подготовил около 100 статей, т. е. почти по 2 статьи в неделю! Когда Эйлер бодрствовал, он размышлял, иногда отвлекаясь для беседы с друзьями и отдыха в кругу семьи. А когда он мыслил, он творил. Этот неустанный творческий труд окончился лишь с жизнью Эйлера — 18 сентября 1783 г.

Научное творчество Эйлера поражает своей плодовитостью. Он оставил более 800 трудов, причем многие из них —большие книги в 2—3 томах. При жизни Эйлера статьи его не успевали печатать. Шутя он говорил, что оставит для академического журнала работ на 20 лет. Великий математик был превосходным вычислителем, но в этот раз он просчитался: посмертные сочинения его печатали еще около 80 лет!

Эйлер был самым плодовитым математиком всех времен. Он был также и самым разносторонним, так как занимался всеми вопросами современной ему математики и ее приложений, а некоторые отделы начал разрабатывать впервые. Теория чисел и теория движения Луны, геометрия и оптические приборы, алгебра и сопротивление материалов, тригонометрия и баллистика — все это и многое другое интересовало его.

Около 150 работ посвятил Эйлер теории чисел. Значение их точно выразил великий русский математик П. Л. Чебышев, продолживший многие исследования Эйлера: “Эти изыскания требовали новых приемов, открытия новых начал, одним словом, основания новой науки. Это было сделано Эйлером”.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку — топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур. Приведем два замечательных открытия Эйлера, относящихся к топологии.

Первое из них — решение задачи о мостах. Река образует острова, и через два речных рукава перекинуто 7 мостов. Спрашивается, можно ли пройти все 7 мостов так, чтобы каждый был пройден по одному лишь разу. Эйлер показал, что это невозможно, и рассмотрел более общую задачу, в которой речь идет о любом числе местностей, как-либо разделенных рукавами рек и соединенных мостами. Задачу о мостах часто формулируют несколько по-иному, спрашивая, можно ли описать некоторую данную фигуру, составленную из прямых отрезков или дуг кривых, так, чтобы каждое звено было пройдено один, и только один, раз.

Вместе с тем Эйлер впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

Знаменитый французский ученый П. Лаплас говорил: “Читайте, читайте Эйлера, он наш общий учитель”. Действительно, по математическим руководствам Эйлера: “Введение в анализ”, “Дифференциальное исчисление”, “Интегральное исчисление”, “Универсальная арифметика” (т. е. алгебра), по его книгам по механике и физике училось несколько поколений. Главное содержание этих книг вошло и в современные учебники.