Занятие № 2. Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля

1. Производная скалярного поля по направлению

Задание 2.1.1. Дать определение производной скалярного поля по направлению. Доказать теорему о производной по направлению.

Задание 2.1.2. Вывести производные по направлению базисных векторов.

Задание 2.1.3. Вывести производную по направлению плоскопараллельного поля.

Задание 2.1.4. В чем состоит геометрический смысл производной скалярного поля по направлению данного вектора.

Пример 2.1.1. Найти в точке  производную поля  по направлению, определяемому прямой, соединяющей точку  с точкой .

Решение. Данное поле является плоскопараллельным. Производная плоскопараллельного поля по данному направлению определяется по формуле

Вычислим частные производные первого порядка функции  в точке :

Найдем единичный вектор  направления :

.

Следовательно,

, .

Подставим полученные значения частных производных и тригонометрических функций в формулу (2.1.1):

.

Производная по направлению отрицательна, следовательно, поле  в точке  по направлению вектора  является убывающим.

Пример 2.1.2. Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению окружности .

Решение. Данное поле является плоскопараллельным.

Направление окружности определяется направлением касательной к ней. Найдем параметрические уравнения данной окружности:

;

;

 – окружность с центром  и радиусом 1;

 – параметрические уравнения данной окружности.

Найдем значение параметра , которое соответствует точке :

.

Найдем теперь единичный касательный вектор  в точке  к данной окружности (Рисунок 2.1.1).

Так как радиус-вектор данной окружности

,

то по законам дифференциальной геометрии единичный вектор  в точке , касательный к данной кривой, равен:

.

Значит,

 и , .

Вычислим частные производные функции  в точке :

Подставим полученные значения частных производных и тригонометрических функций в формулу (2.1.1):

.

Упражнения.

1.             Найти в начале координат производную плоскопараллельного скалярного поля  по направлению, идущему от начала координат к точке .

2.             Найти производную скалярного поля  в точке  в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в 60º, 45º, 60º.

3.             Найти производную поля  в точке  в направлении, идущем от этой точки к точке .

4.             Найти производную скалярного поля  по винтовой линии , заданной параметрически: , ,  в точке , соответствующей значению параметра .

5.             Найти производную плоскопараллельного поля  в точке , лежащей на параболе  по направлению этой параболы.

2. Градиент скалярного поля

Задание 2.2.1. Дать определение градиента скалярного поля. Объяснить связь производной скалярного поля по направлению и градиента скалярного поля. Инвариантность понятия градиента поля.

Задание 2.2.2. Сформулировать и доказать теорему о градиенте скалярного поля.

Задание 2.2.3. Сформулировать и доказать свойства градиента скалярного поля.

Задание 2.2.4. Доказать формулу о скалярном произведении вектора  на дифференциал радиус-вектора.

Задание 2.2.5. По заданному градиенту поля  определить поле .

Пример 2.2.1. Найти градиент модуля радиус-вектора .

Решение. По определению модуля вектора .

Данный пример можно решить несколькими способами. Рассмотрим два из них.

I способ.

Согласно определению градиента:

В нашем случае

.

Вычислим частные производные:

Подставим значения вычисленных производных в формулу (2.2.1):

то есть получили единичный радиус-вектор.

II способ.

Согласно одному из свойств градиента:

Положим

.

Тогда

.

Производная функции

.

Градиент функции :

.

Подставим значения вычисленных производной и градиента в формулу (2.2.2):

,

получили единичный радиус-вектор.

Пример 2.2.2. Найти градиент скалярного произведения радиус-вектора точки  на постоянный вектор .

Решение. Скалярное произведение  равно

.

По формуле (2.2.1) имеем:

.

Пример 2.2.3. Найти градиент потенциала  электростатического поля, образованного точечным зарядом , помещенного в начале координат

.

Решение. 

Согласно одному из свойств градиента:

Положим

;

.

В примере 2.1.1 мы нашли, что

.

Производная константы равна нулю, поэтому

.

Подставим найденные значения градиентов в формулу (2.2.3):

Замечание.  Последний пример можно решить многими способами. Представляем Вам самостоятельно решить пример способами, которыми решался пример 2.2.1.

Упражнения.

6.             Найти градиент скалярного поля  в точке .

7.             Показать, что функция  удовлетворяет соотношению , где  – скалярный квадрат.

8.             Найти градиент скалярного поля , где .

9.             Найти наибольшую скорость изменения поля  в точке .

10.        Найти угол  между градиентом скалярного поля  в точке  и вектором .

11.        Вычислить с помощью градиента производную поля  в точке  по направлению радиус-вектора  этой точки.