Занятие № 9. Решение задач, повторение

1.     Дана функция  и точки  и . Вычислить: 1) Производную функции  в точке  по направлению вектора ; 2) .
Решение.

1)       ;
;
;
;
;
;
единичный вектор  направления : ,
отсюда получаем:
; ; .

2)       .

2.     Даны векторное поле  и плоскость : , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть  – основание пирамиды, принадлежащее плоскости ;  – контур, ограничивающий ,  – нормаль к , направленная вне пирамиды . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля  через поверхность  в направлении нормали ; 2) циркуляцию векторного поля  по замкнутому контуру  непосредственно и применив теорему Стокса к контуру  и ограниченной им поверхностью  с нормалью ; 3) поток векторного поля  через полную поверхность пирамиды  в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Гаусса-Остроградского. Сделать чертеж.
Решение.

1)       Найдем линию пересечения данной плоскости с координатной плоскостью . Для этого положим . Тогда

.

Линия пересечения данной плоскости с координатной плоскостью  ()  задается уравнением

,

а линия пересечения данной плоскости с координатной плоскостью  () – уравнением

.

Вычислим поток поля через площадь треугольника  (рисунок 3.2).

За положительное направление нормали  к плоскости треугольника примем направление от начала координат:

.

Тогда

.

Так как в нашем случае все направляюще косинусы положительны, имеем

; ; .

Поэтому

,

.

Искомый поток поля будет состоять из трех поверхностных интегралов по площади треугольника :

.

Каждый из этих трех поверхностных интегралов заменим двойным интегралом, являющимся проекцией треугольника на соответствующую координатную плоскость.

Аналогично заменяются и два других поверхностных интеграла двойными:

Отсюда .

2)      

На  , , , , .

.

Аналогично, , .

Тогда

.

По теореме Стокса

.

3)      

 (см. 1)).

.

, т.к. на  ,

.

Аналогично,

, .

.

По теореме Остроградского-Гаусса

.

.

3.     Проверить, является ли векторное поле  потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля  найти его потенциал.

Решение.

Найдем вихрь данного поля:

следовательно, поле потенциально.

Найдем теперь его потенциальную функцию :

В качестве начальной точки  выберем начало координат. Согласно третьему свойству потенциального поля  криволинейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования. Для практического вычисления функции  удобнее всего брать в качестве пути  ломаную , изображенную на рисунке 7.1.

.

Вычислим отдельно каждый из этих интегралов.

1) .

На отрезке   меняется от 0 до значения  точки , , , значит  и

.

2) На отрезке меняется только  от 0 до ,  постоянен, , поэтому  и

.

3) На отрезке меняется только  от 0 до ,  и  постоянны, поэтому  и

.

Следовательно, потенциальная функция

,

а потенциал:

.

Проверим, является ли поле  соленоидальным.

,

следовательно, данное поле не соленоидально.

1. Вычислить поток вектора  через поверхность , , , .

Решение.

,

, , .

,

 ,

 ,

.