18 вариант

9. Комплексные числа

1. Даны два комплексных числа  и .

1) Построить их на комплексной плоскости;

2) найти , , ,  и записать числа в алгебраической, тригонометрической и показательной форме;

3) вычислить , , используя алгебраическую форму;

4) вычислить  и  в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Сравнить результаты;

5) найти  (тригонометрическая форма);

6) найти все значения  (в тригонометрической форме), выразить в алгебраической форме, построить значения на комплексной плоскости.

10. Неопределенный интеграл

2. Выполнить непосредственное интегрирование с помощью таблицы простейших интегралов, тождественных преобразований подынтегральной функции и основных свойств неопределенных интегралов.

а) , б) , в) .

3. Проинтегрировать с помощью метода подстановки.

а) , б) , в) , г) , д) , е) .

4. Проинтегрировать по частям.

а) , б) , в) , г) , д) , е) .

5. Проинтегрировать выражения, содержащие квадратный трехчлен.

а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) .

6. Проинтегрировать рациональные дроби.

а) , б) , в) , г) , д) .

7. Проинтегрировать функции, содержащие  и .

1) С помощью универсальной тригонометрической подстановки.

а) , б) , в) .

2) С помощью подстановки , , .

а) , б) , в) .

3) С помощью подстановок  или .

а) , б) , в) .

4) С помощью формул понижения степени тригонометрической функции.

а) , б) , в) .

5) С помощью подстановки  или .

а) , б) , в) .

6) С применением тригонометрических формул.

1) а) , б) , в) .

8. Проинтегрировать функции, содержащие иррациональность.

а) , б) , в) , г) .

2) Подобрать подстановку и найти:

а) , б) .

11. Определенный интеграл

9. а)

б)

в)

10. а)

б)

11. а)

б)

12. а)

б)

13. Вычислить площадь фигуры.

а) , .

б) , .

в) , , .

14. Вычислить длину дуги параболы , отсеченной осью .

.

15. Найти объем тела, образованного вращением дуги параболы, отсеченной осью , вокруг оси .

.

16. Определить площадь поверхности, образованной вращением одной полуволны кривой .

.

12. Функции многих переменных

1. Найти область определения функции , изобразить ее на графике.

.

2. Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций.

.

3. Вычислить значения частных производных , ,  для функции  в точке . Записать полные дифференциалы указанных функций.

4. Вычислить значение производной сложной функции , где ,  при  с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно , в точке .

6. Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться, что .

.

7. Исследовать на экстремум следующие функции

.

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , ограниченной заданными линиями: , , , .

9. Используя понятие полного дифференциала: 1) вычислить значение  в точке ; 2) вычислить приближенное значение  в точке , исходя из значения  в точке  и заменив приращение функции дифференциалом при переходе от  к ; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом.

, , .

10. Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график функции , если заданы значения функции  при пяти значениях аргумента.

Вы можете заказать контрольную работу по любому разделу высшей математики здесь.