К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

8. Операции второго порядка.
Оператор Лапласа.
Символический вектор Гамильтона

8.1. Операции второго порядка.
Оператор Лапласа

В предыдущих лекциях мы ввели понятия основных величин поля: вектора , характеризующего скорость изменения скалярного поля, скаляра , характеризующего интенсивность источника (или стока), и вектора , характеризующего вращательную способность векторного поля. Так как каждая из этих величин вычисляется путем вычисления частных производных первого порядка, их называют операциями первого порядка, переводящими соответственно скаляр в вектор , вектор в скаляр , вектор в вектор .

Скалярная величина , как и любая скалярная функция , образует скалярное поле, а вектор  будет вектором, характеризующим скорость изменения скалярного поля . Так же векторные величины  и  определяют векторные поля. Каждое из этих векторных полей характеризуется величинами скалярной – дивергенцией и векторной – вихрем. Итак, мы получаем пять операций второго порядка:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Найдем каждую из этих величин.

Здесь мы воспользовались свойством смешанной производной:

.

2) В векторном анализе и в приложениях часто используется оператор Лапласа, или лапласиан, обозначаемый обычно буквой  (дельта).

Определение 8.1. Оператором Лапласа, или лапласианом, называется закон образования дивергенций от вектора :

.

Из определения лапласиана и физического смысла дивергенции следует физический смысл лапласиана: численное значение лапласиана характеризует интенсивность источников (если ) или стоков (если ) векторного поля .

Найдем лапласиан :

3) В доказательстве необходимости теоремы 7.1 (признак потенциальности поля) мы получили, что

4) Вычислим :

.

Итак,

А поэтому векторное поле вихрей  данного вектор поля  соленоидально.

5) Вычислим теперь ; вычислим проекцию на ось :

.

Аналогично проекции на оси  и  равны:

,

.

Поэтому

Но выражение, стоящее в квадратных скобках, равно , а выражение в круглых скобках равно вектору:

.

Вектор  получен в результате применения оператора Лапласа к вектору .

Заменяя в равенстве (8.5) скобки их значениями, получим:

8.2. Символический вектор Гамильтона

Известным ученым физиком и математиком Гамильтоном был введен символический вектор  (читается «набла»), который носит название вектора Гамильтона, или оператора Гамильтона:

.

Сам вектор не имеет реального смысла, но результат при­менения его как оператора к скалярным или векторным функциям дает вполне реальную физическую величину. Например, произведение вектора  на скалярную функцию  дает вектор:

то есть

Если вектор умножить скалярно на вектор

,

то получится скалярная величина :

.

то есть

Если же вектор  умножить векторно на вектор , то получается вектор – вихрь поля:

При помощи символического вектора  легко получаются многие важные формулы векторного анализа. Найдем, например, с помощью вектора  часть операций второго порядка.

Поэтому обычно полагают:

.

2) .

Векторы  и  коллинеарны, так как  – скаляр, поэтому их векторное произведение равно нулю:

так как вектор  как векторное произведение двух векторов перпендикулярно к каждому из сомножителей, так что , а скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю: .

4)

Замечание. Приведенные здесь рассуждения нельзя считать обоснованными доказательствами. Мы оперировали с символом  как с обычным вектором, а это, вообще говоря, неверно. Так, например, если на символ  смотреть как на обычный вектор, то из равенства:  следует, что вектор  как векторное произведение двух векторов перпендикулярен к обоим сомножителям, то есть ; на самом деле, , как это мы видели, не всегда.

Поэтому обращение с символом  требует осторожности.

Приведенные нами выводы формул (8.10), (8.11), (8.12), (8.13) надо считать мнемоническими правилами, а не доказательствами. Строго обоснованные выводы указанных формул даны в пункте 8.1.

К содержанию