К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

9. Основные уравнения электромагнитного поля

Определение 9.1. Электромагнитным полем называется часть пространства, каждой точке которого  поставлены в соответствие вектор  напряженности электрического поля и вектор  напряженности магнитного поля.

Последние в общем случае зависят не только от рассматриваемой точки, но также и от времени t (случай нестационарного поля), то есть являются функциями координат х, у, z и времени t:

; .

9.1. Уравнения Максвелла

Известно из физики, что среда, в ко­торой происходят электрические и связанные с ними магнитные явления, характеризуются величинами:  – проводимостью,  – диэлектрической проницаемостью,  – магнитной проницаемостью. В однородной среде , ,  будут постоянными величи­нами, но в общем случае они также будут функциями х, у, z и t.

Пусть  – вектор плотности электрического тока, то есть вектор, численно равный количеству электричества, протекающего в единицу времени (вернее, производной от количества электричества по времени) через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения электричества, причем вектор  направлен в сторону этого движения. Вектор плотности  состоит из двух составляющих: тока проводимости  (закон Ома) и тока смещения, получаемого вследствие явления индукции в диэлектриках; он равен .

Поэтому

Рассмотрим произвольную замкнутую кривую, ограничивающую поверхность . Закон электромагнитной индукции Фарадея гласит: циркуляция электрического вектора  (электродвижущая сила) вдоль L равна производной по времени от потока вектора магнитной индукции  через поверхность S, взятой со знаком «минус»:

.

Из математического анализа известно, что при общих предположениях относительно подынтегральной функции дифференцирование по параметру (в данном случае по t) можно совершать под знаком интеграла, поэтому закону Фарадея можно придать вид:

.

Левую часть последнего равенства преобразуем по теореме Стокса:

Формула (9.2) имеет место для любой поверхности , а это возможно только тогда, когда подынтегральные функции совпадают. Поэтому

Уравнение (9.3) называется вторым уравнением Максвелла в векторной форме.

Первое уравнение Максвелла получается следующим образом. В примере 7.4 было показано, что циркуляция вектора магнитной напряженности  вдоль границы сечения провода, по которому течет ток силы , равна . Этот результат распространяют на произвольное электромагнитное поле

,

где  означает количество электричества, протекающего через  в единицу времени. Принимая во внимание смысл  и формулу (9.1), будем иметь:

.

Следовательно,

.

Применяя к левой части полученного равенства теорему Стокса и отождествляя затем подынтегральные функции в обеих частях равенства, мы приходим к первому уравнению Максвелла в векторной форме:

.

Чтобы иметь возможность измерять величины, связанные с электрическим или магнитным полями, в абсолютных электростатических и электромагнитных единицах, в правые части уравнений Максвелла вводят множитель , где  – скорость света в вакууме. Тогда уравнения Максвелла приобретают вид:

К этим двум основным уравнениям Максвелла прибавляют два дополнительных. Последние получаются из следующих соображений. В задачах было установлено, что дивергенция вектора электростатической индукции объемного заряда плотности  равна , а дивергенция вектора  напряженности электромагнитного поля, образованного током, текущим по бесконечно длинному приводу, равна нулю.

Для произвольного электромагнитного поля эти соотношения сохраняются, только их относят, соответственно, к векторам  и .

Таким образом,

и

Если электромагнитное поле не содержит электрических зарядов, то их плотность  равна нулю, и уравнение (9.6) принимает вид:

Напишем также уравнение Максвелла в проекциях векторов  и . Пусть разложение векторов  и  имеет вид:

, .

Векторы равны только в том случае, когда равны их проекции на оси координат, поэтому уравнение (9.4) равносильно следующим трем уравнениям:

Уравнение (9.5) дает

Уравнения (9.6) и (9.7) принимают вид:

Зная свойства среды, то есть ,  и , а также некоторые начальные и граничные условия, можно решить вопрос о нахождении вида поля в любой момент времени t путем интегрирования уравнений (9.9), (9.10), (9.11) и (9.12).

Рассмотрим теперь случай, когда физическая среда однородна и не содержит электрических зарядов, то есть когда ,  и  – постоянные величины, а . Тогда в уравнениях (9.4), (9.5), (9.7) и (9.8) ,  и  можно как постоянные величины вынести за знак дифференцирования и отбросить в (9.7) и (9.8) множители  и . Получим:

Найдем ротор от обеих частей (9.13); учтем при этом, что смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования. В результате получим:

( и  – постоянные величины).

В силу формул (8.6) и (9.15) будем иметь:

.

Используя еще уравнение (9.14), уравнение (9.17) перепишем так:

или

Это уравнение содержит только . Аналогично, совершив операцию взятия вихря над обеими частями уравнения (9.14), получим:

.

Согласно формулам (8.6), (9.16) и (9.13) последнее уравнение может быть представлено в виде:

Уравнения (9.18) и (9.15), с одной стороны, и уравнения (9.19) и (9.16), с другой стороны, по своей структуре совершенно одинаковы. Следовательно, мы можем утверждать, что в случае однородности среды и отсутствия электрических зарядов оба вектора электрической и магнитной напряженности  и  удовлетворяют одной и той же системе двух уравнений в част­ных производных второго и первого порядков:

и

где вместо вектора  надо подставить или вектор , или вектор .

Уравнение (9.20) называется уравнением распространения электромагнитных волн в однородной проводящей среде; это же уравнение также называется телеграфным уравнением, так как оно встречается в задаче о распространении колебаний по длинным линиям.

Но два вектора равны только тогда, когда равны их проекции на три оси координат. Поэтому уравнению (9.20) должны удовлетворять порознь шесть величин: , , , , ,  – проекции векторов  и на оси координат, причем , ,  и , ,  в отдельности удовлетворяют уравнению (9.21), которому можно придать вид:

Если среда представляет собой идеальный диэлектрик, то , и в уравнении (9.20) член, содержащий , обращается в нуль. Оно принимает более простой вид:

или

где

(под , как и выше, можно подразумевать любую из величин , , , , , , причем , ,  и , ,  порознь связаны соотношением (9.22)).

Уравнение (9.23) называется уравнением распространения электромагнитных волн в однородном диэлектрике.

К содержанию