К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

Дополнительные материалы.
Численные методы Эйлера и Рунге-Кутта

1. Постановка исходной задачи

Будем рассматривать задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, , .                                                 (д.1)

или, подробнее,

, , ,                               (д.2)

, .                                                              (д.3)

Предположим, что функции ,  непрерывны по всем аргументам в замкнутой области

.

Из непрерывности функций  следует их ограниченность, т.е. существование константы  такой, что всюду в D выполняются неравенства , .

Предположим, кроме того, что в D функции  удовлетворяют условию Липшица по аргументам , т.е.

для любых точек  и  области D.

Если выполнены сформулированные выше предположения, то существует единственное решение

системы (д.2), определенное при  и принимающее при  заданные начальные значения (д.3).

При исследовании численных методов для задачи Коши будем заранее предполагать, что её решение существует, единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

2. Примеры численных методов

Существуют две группы численных методов решения задачи Коши: многошаговые разностные методы и методы Рунге-Кутта. Приведем примеры и поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов. Для простоты изложения будем рассматривать сейчас одно уравнение

, , .                                                   (д.4)

Введем по переменному t равномерную сетку с шагом , т.е. рассмотрим множество точек

Будем обозначать через u(t) точное решение задачи (д.4), а через  — приближенное решение. Заметим, что приближенное решение является сеточной функцией, т.е. определено только в точках сетки сот.

Пример 1. Метод Эйлера. Уравнение (д.4) заменяется разностным уравнением

, , .                             (д.5)

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле

, , .

При использовании приближенных методов основным является вопрос о сходимости. Понятие сходимости приближенного метода можно сформулировать по-разному. Применительно к разностным методам, к которым относится и метод Эйлера д.5), наибольшее распространение получило понятие сходимости при . Оно означает следующее. Фиксируем точку t и построим последовательность сеток  таких, что  и  (тогда необходимо ). Говорят, что метод (д.5) сходится в точке t, если  при , t_n = t.

Метод сходится на отрезке , если он сходится в каждой точке .

Говорят, что метод имеет р-й порядок точности, если существует число р > 0 такое, что  при .

Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность метода . Подставляя  в (д.5), получим

                                            (д.6)

Правую часть уравнения (д.6) можно представить в виде суммы

,

где

,

.

Функция  называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (д.5) на решении исходного уравнения (д.4). Видно, что невязка представляет собой результат подстановки точного решения  в левую часть разностного уравнения (д.5). Если бы приближенное решение  совпадало с точным , то невязка равнялась бы нулю. Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, если  при . Разностный метод имеет р-й порядок аппроксимации, если . В дальнейшем будет показано, что при очень общих предположениях порядок точности разностного метода совпадает с порядком аппроксимации. Функция

обращается в нуль, если правая часть  не зависит от решения . В общем случае  пропорциональна погрешности , так как по формуле конечных приращений имеем

, .

Порядок аппроксимации метода Эйлера (д.5) нетрудно найти, используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку

,

то в силу уравнения (д.4)

,

т.е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. При выводе предполагалась ограниченность .

Пример 2. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности. Предположим, что приближенное значение  решения исходной задачи в момент t = t_n уже известно. Для нахождения  поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера

,                                                                  (д.7)

вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением

,                                                     (д.8)

из которого явным образом найдем искомое значение .

Для исследования невязки подставим промежуточное значение , где , в уравнение (д.8). Тогда получим разностное уравнение

                                    (д.9)

невязка которого равна

                             (д.10)

Имеем

,

так как в силу (д.4) справедливо равенство

.

Таким образом, метод (д.9) имеет второй порядок погрешности аппроксимации,  и является явным.

Реализация метода (д.9) в виде двух этапов (д.7), (д.8) называется методом предиктор-корректор (предсказывающе-исправляющим), поскольку на первом этапе (д.7) приближенное значение предсказывается с невысокой точностью , а на втором этапе (д.8) это предсказанное значение исправляется, так что результирующая погрешность имеет второй порядок по .

Тот же самый метод (д.9) можно реализовать несколько иначе. А именно, сначала вычислим последовательно функции

,

а затем найдем  из уравнения

.

Такая форма реализации метода (д.9) называется методом Рунге- Кутта. Поскольку требуется вычислить две промежуточные функции,  и k₂, данный метод относится к двухэтапным методам. Существуют и более общие m-этапные методы Рунге-Кутта, позволяющие получить большую точность.

К содержанию