К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

Лекция 4. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами. Численные методы Эйлера и Рунге-Кутта

4.1. Алгебра дифференциальных операторов.
Характеристический многочлен

Рассмотрим уравнение вида

                                                    (4.1)

где  – постоянные числа.

Определение 4.1. Уравнение (4.1) называют линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Умножение дифференциальных операторов обладает свойством ассоциативности, но в общем случае не является коммутативным. В то же время сложение дифференциальных операторов дистрибутивно относительно сложения (как слева, так и справа). Некоммутативность умножения дифференциальных операторов влечет за собой различия между алгеброй таких операторов и обычной алгеброй. Но есть класс дифференциальных операторов, для которых умножение коммутативно, а именно класс линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, т.е. операторов вида

,

где  — константы.

Назовём такие операторы дифференциальными многочленами. Коэффициенты этих многочленов могут быть комплексными, но в этом курсе мы будем иметь дело с дифференциальными многочленами, имеющими действительные коэффициенты. Чтобы доказать коммутативность умножения дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, достаточно заметить, что по свойствам дифференцирования

и

.

Поскольку операции сложения и умножения дифференциальных многочленов обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над числами, алгебра дифференциальных многочленов аналогична обычной алгебре многочленов.

Определение 4.2. Многочлен

,

в котором переменная  принимает числовые значения, называют характеристическим многочленом для дифференциального многочлена

,

а уравнение  — характеристическим уравнением для L.

Каждому тождеству для обычных многочленов соответствует тождество для дифференциальных многочленов.

Известная теорема:

Теорема 4.1. Любой многочлен f (r) степени n можно представить в виде

,

где  – корни этого многочлена, a  – кратности этих корней. При этом .

Даже в случае, когда коэффициенты многочлена действительны, среди корней  могут быть и комплексные. Но тогда вместе с каждым комплексным корнем  в разложение входит сопряженный с ним корень , и притом с той же кратностью.

Из теоремы 4.1 вытекает, что любой дифференциальный многочлен

порядка n можно разложить на множители:

,

где  – корни характеристического многочлена  для L, a  – кратности этих корней. Это позволяет свести изучение любых дифференциальных многочленов к изучению дифференциальных выражений вида . Докажем следующее утверждение:

Теорема 4.2. Если  – многочлен степени s и , то

,                                                        (4.2)

где  тоже многочлен степени s. Кроме того, если , то

                                                       (4.3)

где  – многочлен степени . Если , то

.                                                                   (4.4)

Доказательство. Сначала найдем выражение для . Имеем:

Так как  – многочлен степени , то при  выражение  является многочленом степени s. Но тогда и  имеет вид , где Q_s(х) – многочлен степени s.

Если , то

.

Поскольку  – многочлен степени , то каждое применение оператора  понижает на единицу степень множителя при , а k-кратное применение этого оператора понижает указанную степень на k. Отсюда и следует равенство (4.3) при .

При k = s получаем, что , где А — постоянная. Еще одно применение оператора  обращает это выражение в нуль, поэтому при k > s

.

В частности, (D – r)×e^rx = 0.

4.2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Таким образом, решение однородных линейных дифференциальных уравнений высшего порядка можно свести к решению алгебраических уравнений. В частности, для решения таких уравнений второго порядка достаточно уметь решать квадратные уравнения.

Теорема 4.3. Пусть характеристический многочлен

                                                                   (4.5)

линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

                                                                    (4.6)

имеет два различных действительных корня:  и . Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид:

.

Доказательство. Уравнение (4.6) можно записать в виде

,

причем множители  и  в этом уравнении можно перестанавливать. Так как , то функция  является решением уравнения (4.6). Аналогично доказывается, что  также является его решением. Но тогда по следствию 3.1 любая линейная комбинация  этих решений также является решением заданного уравнения.

Чтобы доказать, что это решение является общим, надо показать линейную независимость функций  и . Вычислим определитель Вронского:

Поскольку , а функция  не обращается в нуль ни при одном значении х, то , и потому решения  и  линейно независимы.

Аналогично доказывается, что если характеристический многочлен уравнения  n-го порядка имеет n различных корней , то общее решение этого уравнения имеет вид:

.

Пример 4.1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

.

По теореме Виета имеем:

сумма корней характеристического уравнения                 ;

произведение корней                                                          .

Этими свойствами обладают числа .

Значит, общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Рассмотрим теперь случай, когда корни  и  характеристического уравнения  комплексны. Так как мы рассматриваем лишь уравнения с действительными коэффициентами, то эти корни комплексно сопряжены, т.е. имеют вид: . Но тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Преобразуем этот ответ к виду, не содержащему комплексных чисел. По формуле Эйлера имеем:

и потому

                                                       (4.7)

где .

Чтобы доказать, что (4.7) является общим решением дифференциального уравнения, осталось показать, что функции  и  линейно независимы.

Это следует из того, что частное этих функций равно  и не является постоянным. Мы доказали следующую теорему:

Теорема 4.4. Если корни  и  характеристического уравнения для уравнения

комплексно сопряжены: , то общее решение уравнения (4.8) имеет вид:

.

Пример 4.2. Решим уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Дискриминант полученного квадратного уравнения

.

Корни уравнения комплексные сопряжённые:

В данном случае . Значит, общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Аналогично записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка в случае, когда его характеристическое уравнение имеет комплексные корни.

Нам осталось рассмотреть случай, когда характеристическое уравнение  имеет кратный корень . В этом случае оно имеет вид: , a потому дифференциальное уравнение можно представить в виде .

По следствию из теоремы 3.1 любая функция вида  является решением уравнения:

.

Эта функция является линейной комбинацией решений  и .

Покажем, что эти решения линейно независимы. В самом деле, имеем:

Поскольку  отлично от нуля при любом х, то решения  и  линейно независимы, а потому  – общее решение заданного дифференциального уравнения.

Мы доказали следующую теорему:

Теорема 4.5. Если характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

имеет корень  второй кратности, то общее решение для этого уравнения имеет вид:

Пример 4.3. Найдем общее решение уравнения

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

.

Оно имеет корень  второй кратности. Значит, его общее решение имеет вид:

.

Если L[у] = 0 – однородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка и  – корень соответствующего характеристического уравнения, имеющий кратность k, то ему соответствует в общем решении группа слагаемых вида

,

т.е. линейная комбинация решений , ,..., .

Линейная независимость решений

, ,...,

может быть доказана без ссылки на определитель Вронского. Пусть равенство

                                                    (4.8)

выполняется для всех значений х. Так как  не обращается в нуль ни при одном значении х, то многочлен

тождественно равен нулю. А это может быть лишь при условии, что все коэффициенты  этого многочлена равны нулю.

Итак, равенство (4.8) выполняется лишь при условии, что . А это и значит, что решения , ,...,  линейно независимы.

4.3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальные случаи)

Мы умеем решать любое однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами L[у] = 0. Применяя метод вариации произвольных постоянных, можно найти и частное решение любого уравнения вида . Однако в наиболее важных для практики случаях, когда правая часть уравнения имеет вид:

                                                  (4.9)

(где А(х) и В(х) – многочлены), можно найти частное решение уравнения , не прибегая к методу вариации произвольных постоянных.

Предложим без доказательства таблицу, определяющую сводку правил отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения: