Пусть даны две матрицы А и В одинакового размера:

Матрицы А и В называются равными (А = В), если a_ik = b_ik (i = 1, 2, ... , m; k = 1, 2, ... , n).

Суммой матриц А и В называется матрица С = А + В, если с_ik = a_ik + b_ik:

Разностью матриц А и В называется матрица С = А - В, если с_ik = a_ik - b_ik:

Произведением матрицы А на число l называется матрица М = lА, где m_ik = la_ik:

Произведением двух матриц (a_ik)_nm и (b_ik)_mn называется третья матрица (p_ik)_nn, составленная по следующему правилу: элемент p_ik, стоящий в матрице (p_ik)_nm, на пересечении i-ой строки и k-го столбца, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы (a_ik)_nm на соответствующие элементы k-го столбца матрицы (b_ik)_mn.

П р и м е р.

З а м е ч а н и е. В общем случае произведение матриц не подчиняется переместительному закону, то есть нельзя менять местами множители в матричном произведении.

Если АВ № ВА, то матрицы А и В называются некоммутирующими, если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими.

При умножении матриц порядок сомножителей является существенным, поэтому применяются термины "умножение с п р а в а" и "умножение с л е в а".

Для суммы и произведения матриц справедливы следующие законы:

А + В = В + А;

(А + В) + С = А + (В + С);

(А · В) · С = А · (В · С);

(А + В) · С = А · С + В · С.

З а м е ч а н и е.Правило произведения матриц легко запомнить в таком виде: элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения, есть с к а л я р н о е произведение i-ой вектор-строки первого множителя на k-ый вектор-столбец второго множителя.