Занятие № 1. Скалярное и векторное поля и их графическое изображение

1. Скалярное поле и его графическое изображение.

Задание 1.1.1. Дать определение скалярного поля, а также физического, стационарного, нестационарного и плоскопараллельного скалярного полей. Привести примеры каждого из таких полей.

Задание 1.1.2. Дать определение поверхности равного уровня или эквипотенциальной поверхности. Рассказать, как строятся поверхности равного уровня.

Пример 1.1.1. Построить семейство поверхностей равного уровня скалярного поля потенциала  электростатического поля заряда , помещенного в начале координат, где  – расстояние от точки  до заряда.

Решение. Это скалярное поле определено для всех точек пространства, за исключением начала координат, где потенциал равен бесконечности.

Поверхности равного уровня

,

откуда

.

Обозначим

,

получим

,

то есть эквипотенциальные поверхности – семейство сфер с центром в начале координат (рисунок 1.1).

Пример 1.1.2. Построить семейство направляющих линий плоскопараллельного поля .

Решение. Поле определено для всех точек плоскости; направляющими линиями будут:

 – семейство равносторонних гипербол , асимптотами которых будут оси координат (рисунок 1.2).

При

,

откуда

,  – координатные оси.

Упражнения.

В следующих задачах установить область определения поля и составить уравнения поверхностей (направляющих линий) равного уровня данного скалярного поля . Дать заключение о скорости изменения поля в различных точках пространства.

1.             .

2.             .

3.             .

4.             .

2. Векторное поле и его графическое изображение.

Задание 1.2.1. Дать определение векторного поля, а также векторной или силовой линии векторного поля. Привести примеры векторных полей.

Задание 1.2.2. Вывести систему дифференциальных уравнений, определяющих векторные линии поля.

Пример 1.2.1. Найти векторные линии магнитного поля напряженности тока, текущего по прямому бесконечному проводу:

.

Решение. В данном случае

;

;

.

Система дифференциальных уравнений векторных линий имеет вид:

.

Эти уравнения принимают вид:

или

.

Система распадается на два уравнения:

; .

Интегрируя эти уравнения, получим:

, .

Или

Итак, силовыми линиями магнитного поля, образованного электрическим током с силой , текущего по бесконечно длинному прямому проводу, являются окружности радиуса  с центром на оси  в точке , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси (рисунок 2.1).

Упражнения.

5.             Найти векторные линии поля .

6.             Найти векторные линии поля .

7.             Как известно, вектор  линейных скоростей частиц жидкости, вращающейся вокруг оси  с постоянной угловой скоростью , может быть представлен в виде: , где  – вектор угловой скорости, направленный по оси   – единичный вектор по оси ),  – радиус-вектор точки . Найти векторные линии поля.

Указание. Найти сначала вектор  как векторное произведение векторов  и :

.

Затем найти уравнение векторных линий.

8.             Найти уравнение векторных линий поля  .