К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

1. Скалярное поле

1.1. Определение скалярного и векторного полей

1.1.1. Определение скалярного поля

Предположим, что в каждой точке  части пространства  задана какая-либо скалярная функция . Тогда говорят, что эта часть пространства является скалярным полем.

Определение 1.1. Скалярным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана скалярная функция.

Таким образом, для задания скалярного поля, достаточно задать скалярную функцию в каждой точке .

Предположим, что заданная нами скалярная функция определяет некоторое физическое явления. Тогда говорят о физическом скалярном поле.

Определение 1.2. Физическим скалярным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана скалярная функция, определяющая некоторое физическое явление.

К примеру, мы знаем, как меняется плотность части атмосферы Земли от ее поверхности до определенного расстояния от поверхности. Эту часть пространства мы можем назвать скалярным физическим полем.

Также можно говорить о скалярном физическом поле в пространстве, которое занимает физическое тело, масса которого есть переменная величина. Здесь скалярная функция – функция массы.

Вокруг нас бесчисленное множество скалярных полей. Вспомним о поле атмосферного давления, поле температур, поле влажности воздуха и т.п.

В случае, когда скалярная величина не зависит от времени, употребляют термин «стационарное скалярное поле».

Определение 1.3. Стационарным скалярным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана скалярная функция, не зависящая от времени.

Определение 1.4. Нестационарным скалярным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана скалярная функция, изменяющаяся с течением времени.

Например, поле плотности массы неоднородного физического тела является стационарным, а поле зависимости температуры окружающей среды от времени суток – нестационарное.

Определение 1.5. Плоскопараллельным скалярным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана скалярная функция, значение которой зависит только от двух координат.

Например, функция, определяющая атмосферное давление, зависит от температуры воздуха и массы атмосферы над точкой измерения давления (все остальные параметры ничтожно малы). Таким образом, поле атмосферного давления в нашем задании является плоскопараллельным.

1.1.2. Определение векторного поля

Предположим, что в каждой точке  части пространства  задана какая-либо векторная функция . Тогда говорят, что эта часть пространства является векторным полем.

Определение 1.6. Векторным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана векторная функция.

Разложим вектор  по векторам ,  и  (напомним, что эти вектора являются единичными векторами, определяющими положительное направление осей ,  и  соответственно):

.

Здесь ,  и  – скалярные функции аргументов ,  и .

Таким образом, для задания векторного поля необходимо задать три скалярные функции ,  и .

Если обобщить сказанное выше на -мерное пространство, то становится очевидным, что для задания -мерного векторного поля необходимо задать  функций скалярного аргумента в той части пространства, в которой мы рассматриваем данное поле.

Примеров векторных полей вокруг нас очень много. Например, электростатическое поле точечного заряда. Электрический ток, идущий по прямолинейному бесконечному проводу образует плоское магнитное поле. Поле тяготения Земли также является векторным полем.

Позже мы подробнее рассмотрим некоторые из этих полей, а сейчас перейдем к графическим характеристикам скалярного и векторного полей.

1.2. Графические характеристики скалярного и векторного полей

1.2.1. Графическое изображение скалярного поля

Далее ограничимся рассмотрением скалярных функций двух и трех аргументов.

Пусть в каждой точке  некоторой части пространства задана скалярная функция , то есть задано скалярное поле. Зададим некоторое постоянное число  и построим все точки рассматриваемой части пространства, в которых . Мы получим некоторую поверхность.

Определение 1.7. Поверхность, в каждой точке которой значение скалярной функции  постоянно, называется поверхностью равного уровня или эквипотенциальной поверхностью.

Свое название поверхность равного уровня получило из-за того, что физическое явление, определяемое рассматриваемой функцией, происходит во всех ее точках одинаково. Удобнее построить семейство поверхностей равно уровня, на которых функция , определяющая скалярное поле, принимает значение через равные интервалы , т.е. строим поверхности, где , ,  и так далее.

Семейство таких поверхностей и служит геометрическим изображением скалярного поля.

Эквипотенциальными поверхностями плоскопараллельного поля будут цилиндрические поверхности  с направляющими линиями, расположенными в плоскости . Эти линии (направляющие) и могут служить геометрическими изображениями плоскопараллельного поля.

Семейство поверхностей разного уровня дает наглядное представление о скорости изменения поля: где эти поверхности расположены близко друг от друга, там скорость изменения поля будет больше, чем там, где эти поверхности располагаются дальше друг от друга.

Пример 1.1. Построим семейство эквипотенциальных поверхностей скалярного поля

 .

Уравнения таких поверхностей

или

.

Это параболоиды вращения, изображенные на рисунке 1.1, исключая точку .

Из рисунка 1.1. видно, что скорость изменения поля будет тем больше, чем ближе к началу координат (поле в начале координат не определено).

1.2.2. Графическое изображение векторного поля

Для графического изображения векторного поля применяют так называемые векторные или силовые линии.

Определение 1.8. Векторной линией векторного поля называется кривая, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением векторного поля в точке касания.

Отсюда следует физический смысл векторных линий – векторные линии определяют в каждой точке направление векторного поля.

Найдем систему дифференциальных уравнений, определяющую векторные линии поля.

Если  – радиус-вектор заданной векторной линии, то направление вектора

совпадает с направлением касательной к данной векторной линии. Векторы

и

коллинеарны согласно определению 1.1.8. Проекции коллинеарных векторов пропорциональны, следовательно, должно выполняться соотношение

Соотношение (1.1.1) дает систему дифференциальных уравнений векторных линий. Уравнения векторных линий получаются в результате решения этой системы.

Пример 1.2. По закону Ньютона напряженность  поля тяготения (сила притяжения, действующая на единичную массу в точке ), порождаемая точечной массой , определяется формулой , где предполагается, что масса  располагается в начале выбранной системы координат,  – радиус-вектор точки .

Поле тяготения – векторное поле, определенное для всех точек пространства, за исключением начала координат, где . Векторные поля  и  имеют одинаковые векторные линии, поскольку  – скалярная величина, поэтому векторы  и  коллинеарны. Поэтому для решения поставленной задачи достаточно найти векторные линии поля радиус-вектора  точки .

.

Согласно соотношению (1.1) дифференциальные уравнения векторного поля  имеют вид:

или

Интегрируя эти уравнения, получим

Отсюда, согласно формуле логарифма суммы,

И, наконец, после экспоненцирования

Положим , , получим

 – семейство прямых, проходящих через начало координат (рисунок 1.2).

К содержанию