К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

2. Производная скалярного поля по направлению и градиент скалярного поля

2.1. Производная скалярного поля по направлению

Пусть функция  образует некоторое скалярное поле. Проведем в этом поле произвольную кривую  (рисунок 2.1). Возьмем точку , принадлежащую кривой , и проведем через нее касательную к этой кривой. Возьмем на касательной единичный вектор . Обозначим углы, образованные вектором  с осями ,  и  соответственно ,  и . Так как длина вектора  равна единице, то проекции на оси координат вектора  будут соответственно равны ,  и  и вектор  выразится через базис векторов следующим образом:

.

Возьмем на кривой  на расстоянии  от точки  произвольную точку .

Разность  определяет изменение (или приращение) поля  при переходе от точки  к точке , а отношение  есть средняя скорость изменения поля  на участке .

Определение 2.1. Предел средней скорости изменения поля  при  называется производной скалярного поля в точке М по данному направлению , если такой предел существует и конечен:

 .

Физический смысл производной по направлению

Производная  есть предел средней скорости изменения поля. Таким образом, производная скалярного поля  по направлению вектора  в точке  определяет скорость изменения поля  в данной точке  в данном направлении . Таким образом, если , то скалярное поле  возрастает при переходе вдоль  через точку , а если  убывает. Чем больше производная по направлению по абсолютной величине, тем скорее возрастает или убывает данное скалярное поле.

Инвариантность производной по направлению

Отношение

не зависит от выбора системы координат. Следовательно, предел этого отношения

также не зависит от выбора координатной системы. Поэтому можно говорить о том, что производная по направлению есть понятие инвариантное.

* * *

Вычислять производную по направлению через предел отношения приращения функции к приращению аргумента не всегда удобно. Следующая теорема установит формулу для вычисления производной по направлению, а также решит вопрос о ее существовании.

Теорема 2.1. Если функция  дифференцируема в точке , то производная поля функции  в точке  по любому направлению

существует и равна:

Доказательство. Как известно из курса дифференциального исчисления функции, приращение дифференциру­емой функции нескольких переменных  представимо в виде:

где  при , а , ,  – проекции вектора  (рисунок 2.1) на оси координат. Разделим на  обе части равенства (2.2), получим:

.

Далее перейдем к пределу при . По определению касательной к кривой вектор  в пределе совпадает с касательным вектором  к кривой. Поэтому

; ; ; .

Таким образом, получим:

, что и требовалось доказать.

Производные по направлению базисных векторов

Найдем производную  по направлению вектора . Для этого положим в формуле (2.1) , ; получим

.

Аналогично вычисляются производные по направлению базисных векторов  и :

, .

Итак, производные скалярного поля  про направлению базисных векторов ,  и  совпадают с обычными частными производными функции  по соответствующим переменным ,  и .

Производная по направлению в плоскопараллельном поле

В случае плоскопараллельного поля функция  не зависит от , поэтому

.

Поскольку  и  – углы, образованные вектором  с осями  и  (рисунок 2.2), то , отсюда , тогда  и поэтому

Формула (2.3) определяет производную по направлению в плоскопараллельном поле в случае задания только одного угла между положительным направлением оси  и вектором . Аналогично можно определить формулу производной по направлению в случае задания угла между вектором  и положительным направлением оси .

Пример 2.1. Найдем производную поля  в точке  по направлению вектора  образующего с координатными осями  и  соответственно углы , , а с осью  угол .

Сначала вычислим направляющие косинусы:

;

;

Из равенства  найдем .

Поскольку , то  должен быть отрицательным и

.

Найдем значение частных производных функции  в точке :

,             ;

,       ;

,           .

По формуле (2.1) получим:

.

2.2. Градиент скалярного поля

Пусть задана функция , образующая скалярное поле.

Определение 2.2. Градиентом скалярного поля  в точке  называется вектор, координаты которого суть частные производные функции , то есть

Следующая теорема дает физический смысл градиента.

Теорема 2.2. Градиент скалярного поля  в точке  направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, прохо­дящей через точку в сторону возрастания поля и численно равен производной поля по направлению нормали . Градиент скалярного поля показывает в точке  направление, в котором скорость изменения поля (то есть производная по направлению) наибольшая.

Доказательство.

Возьмем в точке  какой-либо единичный вектор :

.

Найдем скалярное произведение векторов  и . (Напомним, что скалярное произведение двух векторов  и  равняется сумме произведений одноименных проекций .) Получим:

.

Правая часть полученного равенства согласно формуле (2.1) равна , значит:

.

Скалярное произведение двух векторов равняется произведению длины одного из этих векторов на проекцию на него другого вектора и, учитывая, что длина вектора  равна единице, будем иметь:

т.е. производная поля по какому-нибудь направлению равна проекции градиента на это направление.

Для того, чтобы выяснить, как направлен градиент скалярного поля в данной точке, проведем через точку  скалярного поля  поверхность равного уровня  (рисунок 2.3). Пусть  — произвольный единичный вектор, лежащий в ка­сательной плоскости поверхности . Так как поверхность  эквипотенциальная, то приращение поля в точке  по направлению вектора  равно нулю: , поэтому  и, следовательно, . (В данном случае мы исключили из рассмотрения точки, в которых , то есть . Такие точки называются особыми точками скалярного поля  и требуют специального исследования.) Но так как вектор  – произвольный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности , то вектор  направлен перпендикулярно касательной плоскости к поверхности, то есть направлен по нормали  к экви­потенциальной поверхности в данной точке  или в противоположную сторону. Покажем, что имеет место первое утверждение. Приращение поля по направлению вектора  неотрицатель­но, поскольку он направлен в сторону возрастания поля, поэтому

.

Согласно формуле (2.5) будем иметь:

,

откуда следует, что  направлен по нормали к эквипотен­циальной поверхности в сторону возрастания поля.

Наибольшая скорость изменения поля в каждой точке будет по направлению вектора  и численно равна длине градиента, то есть .

Действительно, согласно формуле (2.5), имеем:

.

Но проекция вектора на другой вектор меньше или равна длине вектора и равна длине вектора тогда, когда направления векторов совпадают. Поэтому

 и .

Пользуясь формулой длины вектора, получим:

Теорема доказана.

Инвариантность понятия градиента поля.

Определение градиента согласно формуле (2.4) было дано в некоторой декартовой системе координат. Но при изменении декартовой системы координат меняются как частные производные , , , так и сами орты , , , поэтому из данного определения не следует того, что градиент поля – понятие инвариантное. Из доказанной теоремы следует, что и модуль, и направление градиента инвариантны, так как связаны со скалярным полем  вполне определенным образом, совершенно независимым выбора системы координат в пространстве. Тем самым доказана инвариантность по­нятие градиента скалярного поля. Доказанную выше теорему можно принять просто за определение градиента. Преимущество такого определения заключается в его инвариантности, так как оно не связано с упоминанием о какой-либо системе координат. Однако тогда бы формулу (2.4) надо было бы доказывать.

Свойства градиента поля.

Если  и  – два скалярных поля, имеющих градиенты, то справедливы формулы:

причем в правых частях формул (2.7), (2.9), (2.10) знак «+» или «–» обозначает сложение векторов и встречающиеся в правых частях формул (2.9), (2.10), (2.11) произведения суть произведения вектора на скаляр.

Все эти формулы доказываются на основании определения градиента (2.4) и известных правил дифференцирования функций. Докажем, например, формулы (2.7), (2.9), (2.11).

Формула (2.7) непосредственно вытекает из определения градиента (2.4), так как производная суммы равна сумме производных.

Формула (2.9) выводится так:

Выведем формулу (2.11). Согласно формуле (2.4) имеем:

По правилу дифференцирования сложной функции

; ; .

Подставляя эти значения в (2.12) и вынося общий множитель  за скобку, получим формулу (2.11).

Скалярное произведение вектора  на дифференциал радиус-вектора  равно дифференциалу .

Действительно, возьмем в поле  произвольную точку  и проведем в нее радиус-вектор , тогда . Скалярное произведение векторов

 и

равно сумме произведений одноименных проекций:

,

что и требовалось доказать.

Формула (2.4) дает возможность по заданному скалярному полю  находить его градиент.

Естественно возникает вопрос о решении обратной задачи: по заданному градиенту поля  определить поле .

Пусть  – любая линия, соединяющая точки  и  на которой  – дифференцируема (то есть на которой градиент поля определен). Интегрируя обе части равенства (2.13) по кривой , получим:

,

откуда

Из формулы (2.14) видно, что вектор  достаточно полно характеризует само скалярное поле .

Пример 2.2. Найдем градиент скалярного поля  в точке .

Вычислим частные производные  и  в точке :

, ;

, .

Из формулы (2.4) следует, что градиент для случая плоского скалярного поля равен:

.

К содержанию