Занятие
№ 3. Поток векторного поля
Задание 3.1. Дать определение потока
векторного поля.
Задание 3.2. Дать определение поверхностного
интеграла.
Задание 3.3. Показать физический смысл потока
векторного поля.
Пример 3.1. Найти поток поля радиус-вектора
точки 
через
прямой цилиндр радиуса 
с
центром в начале координат и высоты 
(рис.
3.1).
Решение. Для вычисления потока вектора
используем формулу
.
Согласно условию задачи поверхность
состоит
из боковой поверхности и двух оснований цилиндра. Поток записывается в виде
суммы поверхностных интегралов:
.
На боковой поверхности внешняя нормаль
параллельна
плоскости 
и
проекция на нее 
равна
,
а площадь боковой поверхности цилиндра
.
Следовательно,
На нижнем основании радиус-вектор
перпендикулярен
нормали 
и
.
Поэтому 
.
На верхнем основании нормаль 
направлена
относительно оси 
вверх
и 
,
а площадь основания цилиндра 
.
Следовательно,
.
Тогда поток поля радиус-вектора точки
через
прямой цилиндр радиуса с
центром в начале координат и высоты равен:
.
Ответ.
.
Пример
3.2. Найти поток поля вектора
через часть плоскости
,
лежащую в первом квадранте.
Решение. Найдем линию пересечения данной
плоскости с координатной плоскостью .
Для этого положим 
.
Тогда
.
Линия пересечения данной плоскости с координатной
плоскостью 
(
)
задается уравнением
,
а линия пересечения данной
плоскости с координатной плоскостью 
(
)
– уравнением
.
Вычислим поток поля через площадь треугольника
(рисунок
3.2).
За положительное направление нормали
к
плоскости треугольника примем направление от начала координат:
.
Тогда
.
Так как в нашем случае все направляюще косинусы
положительны, имеем
;
;
.
Поэтому
,
.
Искомый поток поля будет состоять из трех поверхностных
интегралов по площади треугольника :
.
Каждый из этих трех поверхностных интегралов заменим
двойным интегралом, являющимся проекцией треугольника на соответствующую
координатную плоскость.
Поверхностный интеграл
отличается
от двойного 
лишь
тем, что в интеграле по 
координата
,
а в интеграле по 
;
в нем 
зависит
от 
и
.
Эта зависимость определяется уравнением плоскости треугольника:
,
так что на плоскости треугольника 
.
Поэтому
Аналогично заменяются и два других поверхностных интеграла
двойными:
Отсюда
.
Ответ.
.
Упражнения.
1.
Найти поток поля радиуса-вектора точки
через
поверхность прямого конуса, вершина которого в начале координат, радиуса
и
высоты .
2.
Найти поток вектора 
через
часть плоскости 
,
лежащую в первом квадранте.
3.
Найти поток векторного поля 
через
поверхность пирамиды с вершиной в точке
и
основанием 
,
где 
,
,
.
4.
Найти поток векторного поля 
через
поверхность пирамиды, ограниченную плоскостями
,
,
,
.
5.
Вычислить поток векторного поля
через
полную поверхность цилиндра: 
;
;
.
