Занятие № 5. Криволинейный интеграл от вектора. Циркуляция вектора. Вихрь поля.

1. Криволинейный интеграл от вектора. Циркуляция вектора

Задание 5.1.1. Дать определения криволинейного интеграла от вектора и циркуляции вектора.

Задание 5.1.2. Физический смысл циркуляции вектора.

Пример 5.1.1. Найти линейный интеграл вектора  по верхней половине окружности ,  (Рисунок 5.1.1).

Решение.

Уравнение окружности в векторной форме:

.

Вектор  на этой окружности запишется так:

.

Тогда

.

Скалярное произведение

При движении по дуге в направлении против часовой стрелки параметр  изменяется от 0 до . Поэтому линейный интеграл по дуге окружности будет равен:

.

Пример 5.1.2. Вычислить циркуляцию поля вектора  по контуру окружности  (Рисунок 5.1.2).

Решение.

Для облегчения решения задачи запишем уравнение окружности в параметрическом виде:

Угол  при положительном обходе окружности изменяется от 0 до .

, , .

Циркуляция поля равна

.

Знак минус указывает на то, что под действием сил  окружность будет вращаться в отрицательном направлении, то есть по часовой стрелке.

Упражнения.

1.             Найти линейный интеграл вектора  по дуге эллипса , лежащей в первом квадранте (перейти к уравнению эллипса в параметрическом виде).

2.             Найти циркуляцию вектора  вдоль замкнутой кривой, образованной осями координат и дугой астроиды , лежащей в первом квадранте (перейти к уравнению астроиды в параметрическом виде: , ).

3.             Найти циркуляцию поля вектора  по окружности .

4.             Найти циркуляцию поля радиуса-вектора  по линии , где  – винтовая линия: , , ;  и  – точки, соответствующие значениям параметра  и ;  – начало координат;  и – отрезки прямых линий.

5.             Найти работу  векторного поля  по отрезку прямой , где  и .

6.             Найти работу векторного поля  по контуру , получаемому при пересечении поверхности  с координатными плоскостями.

7.             Векторное поле образовано погонной силой (то есть силой, отнесенной к единице длины). . Найти вращательную способность поля на замкнутом контуре, состоящем из первой арки циклоиды , , и отрезком оси , отсекаемым дугой циклоиды.

8.             Векторное поле образовано погонной силой . Найти вращательную способность поля на контуре треугольника , , .

2. Вихрь поля

Задание 5.2.1. Дать определения вихря поля.

Задание 5.2.2. Доказать теорему о вихре поля.

Пример 5.2.1. Найти вихрь поля вектора .

Решение.

.

Упражнения.

9.             Найти вихрь поля вектора а) ; б) ; в) .