К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

3. Поток векторного поля

Рассмотрим векторное поле, определенное функцией , являющейся вектором скорости несжимаемой жидкости, движущейся стационарно, тогда векторные линии будут линиями тока жидкости. Возьмем некоторую поверхность , находящуюся в жидкости, и подсчитаем количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени. Для этого разобьем поверхность  на  элементарных площадок: , ,…, . В каждой из этих площадок  выберем произвольно точку и построим в ней единичный вектор нормали . Если S – замкнутая поверхность, то  будем брать по направлению внешней нормали, в противном случае возьмем произвольно одно из двух направлений нормали так, чтобы векторы  во всех точках поверхности лежали по одну сторону поверхности. Будем считать площадку  плоской, а вектор  – постоянным во всех точках элементарной площадки , равным  (ввиду малости площадки с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости это допустимо).

В том случае, если площадка  расположена перпендикулярно линиям тока (вектору ), то количество жидкости, протекающей сквозь площадку за единицу времени, приближенно равно . Если площадка  расположена под некоторым углом  к линиям тока, где  – угол между векторами  и : , очевидно, что сквозь нее будет протекать такое же количество жидкости, как сквозь проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению тока жидкости, то есть вектору  (рисунок 3.1). Площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла, образований нормалями к плоскостям проекции и проектируемой фигуры, поэтому количество жидкости , протекающей через площадку  будет приближенно равно

где  – угол между вектором  и нормалью  к площадке , а  – проекция вектора  на эту же нормаль.

Площадку , можно представить в виде вектора  направленного по нормали к площадке, модуль которого равен численному значению площади , тогда

.

,

Общее количество жидкости П, протекающей через поверхность , равно сумме количеств жидкости, протекающей через все элементарные площадки , . Поэтому будем иметь:

Мы нашли приближенное выражение П, связанное со сделанными допущениями относительно  и .

Назовем диаметром элементарной площадки  расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками площадки.

Чтобы найти точное значение количества жидкости П, протекающего через поверхность  в единицу времени, надо в выражении (3.3) перейти к пределу, когда диаметр каждой элементарной площадки  стремится к нулю, то есть когда каждая из площадок  стягивается в точку.

Определение 3.1. Потоком  поля вектора  через поверхность  называется предел интегральной суммы  , когда диаметр элементарной площадки стремится к нулю:

Определение 3.2. Поверхностным интегралом вектора  по поверхности  называют поток вектора  через эту поверхность:

где .

Физический смысл потока поля

Если  есть скорость течения жидкости, то, как уже указано выше, поток поля через поверхность будет определять объем жидкости, протекающей через поверхность  в единицу времени. Этим и объясняется выбор названия «поток». Выясним, что выражает поток вектора в общем случае. В первой лекции мы говорили о том, что графически векторные поля изображаются векторными линиями. Но векторные линии дают возможность определять только направление вектора и точке векторного поля. Для того чтобы по векторным линиям можно было судить не только о направлении вектора, но и о модуле вектора , поступают обычно следующим образом: через площадку , перпендикулярную к вектору  в данной точке , проводят векторные линии в количестве, пропорциональном модулю вектора  в точке  и величине площадки :

,

где k — коэффициент пропорциональности. И в точках, где модуль вектора   больше, векторные линии проводят гуще, плотнее, чем в точках, где модуль вектора  меньше.

В скалярном произведении

множитель  представляет проекцию площадки  на направление, перпендикулярное вектору в точке :

.

При графическом изображении поля через площадку  проводится  векторных линий. Поэтому

,

,

где  – число векторных линий, проходящих через поверхность . Таким образом, в общем случае поток поля вектора  через поверхность  пропорционален числу векторных линий, проходящих через поверхность .

Заметим, что поток вектора есть скалярная величина. Установим физический смысл знака потока поля через замкнутую поверхность. Пусть вектор  означает скорость течения жидкости. Поток вектора через замкнутую поверхность  равен:

Здесь за направление вектора берут направление внешней нормали. Изобразим на рисунке 3.2 объем , ограниченный поверхностью . В точках  векторные линии выходят из объема , внешняя нормаль образует с вектором  острый угол и скалярное произведение , так как , то есть в произведение входят только положительные величины. В точках  векторные линии входят в объем , внешняя нормаль образует с вектором  тупой угол и скалярное произведение , так как , то есть в произведение входят две положительные и одна отрицательная величина.

Получили, что в случае замкнутой поверхности сумма  состоит из положительных слагаемых, соответствующих площадкам , через которые жидкость вытекает из объема, и отрицательных слагаемых, соответствующих площадкам , через которые жидкость втекает в объем.

Предположим, что поток поля вектора  через данную замкнутую поверхность S положителен:

,

тогда начиная с некоторого разбиения  на , все суммы  остаются положительными. Это означает, что из объема  вытекает жидкости больше, чем в него втекает.

Когда жидкость несжимаема, то количество жидкости внутри объема V должно все время оставаться неизменным. При постоянстве количества жидкости внутри объема V это возможно тогда и только тогда, когда внутри объема V существуют источники, питающие поток.

Если же , то и все суммы

  ,

начиная с некоторого разбиения, отрицательны, что означает, что в объем V втекает жидкости больше, чем из него вытекает; последнее возможно тогда и только тогда, когда внутри объема V имеются стоки, поглощающие излишек жидкости.

Таким образом, поток вектора через замкнутую поверхность дает разность между количествами жидкости, вытекающей из объема V и втекающей в него в единицу времени.

Аналогично устанавливается понятие стока и источника произвольного векторного поля. Ранее было отмечено, что величина потока поля через некоторую поверхность S пропорциональна числу векторных линий, проходящих через поверхность S.

Поэтому в случае, если поверхность S замкнутая и поток через нее , то из объема V, ограниченного поверхностью будет выходить векторных линий больше, чем в него входит. А это свидетельствует о том, что в объеме V порождаются векторные линии, то есть там имеются источники.

Если же , то в объеме V исчезают векторные линии, то есть объеме V имеются стоки.

Так, например, в поле напряженности , порожденном двумя точечными зарядами + q и – q, точка, в которой помещен заряд + q, будет источником поля, а точка, где помещен заряд  – q, будет стоком поля (рисунок 3.3).

В магнитном поле источником будет северный полюс магнита, а стоком – южный полюс.

Если поток поля через некоторую замкнутую поверхность равен нулю, то это означает, что или внутри поверхности S нет ни источников, ни стоков, или внутри S имеются и источники, и стоки, но они компенсируют друг друга.

В соответствии с этим важно заметить, что внутри любой замкнутой поверхности S поля могут быть и источники, и стоки. Если при этом П > 0, то источники преобладают над стоками, если же П < 0, то стоки преобладают над источниками.

Пример 3.1. Вычислим поток поля напряженности  точечного заряда  через сферу радиуса  с центром в точке заряда.

Как видно из рисунка 3.4, нормаль во всех точках сферы направлена по радиус-вектору точки. Поэтому  и вектор .

Поток равен:

.

Так как здесь интегрирование производится по сфере, на которой всюду , то  как постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, а  (как площадь поверхность сферы).

Поэтому получим:

.

К содержанию