К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

4. Дивергенция векторного поля

Установим численную характеристику плотности источника или стока поля в любой его точке. С этой целью зафиксируем в поле вектора  произвольную точку и окружим некоторой замкнутой гладкой поверхностью (например, сферой с центром в точке ). Вычислим поток поля через

.

Пусть V обозначает объем, ограниченный поверхностью S; тогда отношение

определяет среднюю плотность источников (если П > 0) стоков (если П < 0), распределенных в объеме V.

Определение 4.1. Предел отношения потока П поля через некоторую замкнутую поверхность S к объему, ограниченному поверхностью, когда диаметр области стремится к нулю так, что при этом стягивается в точку М, называется дивергенцией, или расходимостью поля в точке М, и обозначается символом  (читают «дивергенция поля  в точке М»):

(здесь  – диаметр поверхности S).

В этом определении предполагается, что предел существует независимо от того, как поверхность  стягивается к точке.

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина. Она образует скалярное поле в данном векторном поле. Из физического смысла потока поля следует, что если , то в точке М имеется источник плотности , если , то в точке М имеется сток; если , то в точке М нет ни источников, ни стоков.

Теорема 4.1. (О дивергенции поля). Если проекции вектора  непрерывны вместе со своими частными производными ,  и , то дивергенция поля существует и равна:

Доказательство. Согласно определению

.

Для вычисления написанного предела возьмем в качестве поверхности  поверхность параллелепипеда с центром в точке , ребра которого параллельны координатным осям ,  и  и равны соответственно ,  и  (рисунок 4.1). Поток вектора  через поверхность  состоит из шести интегралов, взятых по всем граням параллелепипеда:

Рассмотрим интегралы, взятые по двум противоположным граням  и . На грани  направление внешней нормали совпадает с положительным направлением оси , поэтому здесь ; на грани  внешняя нормаль направлена в отрицательную сторону оси  и здесь ; кроме того, х на каждой из граней  и  сохраняет постоянное значение равное соответственно , . Чтобы получить эти грани, нужно менять величину  в пределах от  до  и  от  до . Поэтому интегралы по этим граням можно заменить двукратными интегралами соответственно от функции  и  по переменным  и  в указанных выше одних и тех же пределах. Обозначим поток через противоположные грани  и ,  и ,  и  соответственно ,  и . Тогда .

Вычислим

К подынтегральной разности применим теорему Лагранжа о конечных приращениях по переменному [1]. Теорему Лагранжа имеем право применять, так как согласно условию доказываемой теоремы условия теоремы Лагранжа выполняются. Получим:

, .

Так как по условию доказываемой теоремы подынтегральная функция  непрерывна, то можно применить теорему о среднем значении для двойного интеграла[2]. Применяя к полученному интегралу теорему о среднем, будем иметь:

,

где M₁ – некоторая внутренняя точка параллелепипеда: , a  – площадь грани . Аналогично вычисляются П₂ и П₃:

,

,

где  и  – некоторые внутренние точки параллелепипеда. Поток через всю поверхность параллелепипеда будет равен:

.

Объем прямоугольного параллелепипеда . Поэтому

В последнем равенстве мы сократили дробь на  и, воспользовавшись тем, что при  точки М₁, М₂, М₃ неограниченно  приближаются к точке М, а предел непрерывной функции равен значению функции в точке М согласно определению непрерывности функции в точке.

Теорема доказана.

* * *

Из доказанной формулы (4.2) и известных правил дифференцирования легко получить следующие свойства дивергенции:

Свойство (4.3) доказывается очень легко.

Докажем свойство (4.4).

Пусть , а  – скалярная функция, тогда

.

По формуле (4.2) имеем:

Формула (4.4) доказана.

Формула (4.5) получается из формулы (4.4) как частный случай, когда  и :

Вычислим теперь  и :

;

.

Дифференцируем как сложную функцию:

(так как ).

Подставляя полученное в равенство (4.6), будем иметь:

Пример 4.1. Найдем дивергенцию поля напряженности  точечного заряда q () – радиус-вектор, проведен из точки, где помещен заряд, в произвольную точку М).

При вычислении  воспользуемся формулой (4.5):

Таким образом, в любой точке поля, где определен вектор  нет ни источников, ни стоков. В точке, где помещен заряд, это утверждение неверно. В этой точке ,  не определено, формула (4.5) не применима.

К содержанию