Искать:

  

Лекция № 5

Назад Домашняя Вверх Далее

 Купим рекламу на вашем сайте.

На исходе времён, когда цивилизация
достигла своего апогея,
когда учёные победили болезни и даже смерть, нарушилось равновесие между силами
Света и Тьмы.

Этот сдвиг породил губительные последствия для всего человечества. Спаслось всего
десять тысяч,
и ценою спасения
был отказ
от бессмертия.

Именно так началось
противостояние...

Вечная битва...

Вселенская битва...

Купить книгу

С. Подклетнова. Вселенская битва: НАЧАЛО. -

Самара, Россия: Издательско-полиграфический комплекс "Самарская губерния", 2005 г., 674 с.

Стоимость книги 250 руб.

Вопросы и предложения по распространению admin@big-biblioteka.com

 

К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

5. Теорема Гаусса-Остроградского.
Криволинейный интеграл от вектора,
циркуляция вектора

5.1. Теорема Гаусса-Остроградского

Одной из важнейших теорем векторного анализа является теорема Гаусса-Остроградского. Она устанавливает связь меж­ду потоком и дивергенцией векторного поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть во всех точках объема  и на его границе  поле  определено и частные производные , ,  непрерывны. Тогда имеет место теорема.

Теорема 5.1. (Теорема Гаусса-Остроградского). Поток векторного поля через замкнутую поверхность  равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному поверхностью :

(5.1)

или

(5.2)

Доказательство. Пусть S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, во всех точках которого определено поле вектора  и частные производные , ,  непрерывны. Разобьем объем V на п элементарных объемов: . Пусть  – замкнутая поверхность, ограничивающая объем   (на рисунке 5.1 ). В каждом объеме  возьмем по точке  и определим в ней дивергенцию:

 .

 

Этот предел согласно теореме о дивергенции поля (теорема 4.1) существует. По определению предела переменной известно, что абсолютная величина разности между пределом и значением переменной становится, начиная с некоторого значения переменной меньше любого положительного числа .

Пусть  – любое положительное число, тогда  также любое положительное число. Выберем  настолько малым, чтобы выполнялись неравенства:

 .

Умножив на , получим:

 .

Просуммировав эти  неравенств, получим неравенство:

(5.3)

(в правой части  как постоянный сомножитель вынесен за знак суммы).

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что .

Далее, в сумме  все слагаемые, в которых интегралы берутся по поверхностям , лежащим внутри объема , взаимно уничтожаются и поэтому .

Действительно, пусть  – общая часть поверхностей объемов  и  (рисунок 5.2). Интеграл по поверхности  войдет и в интеграл  по , и в интеграл по , но направление внешних нормалей к  на поверхностях  и  будут противоположны, как это видно из рисунка 5.2, поэтому интегралы по  будут равны по величине, но противоположны по знаку, следовательно, при суммировании они уничтожатся. В итоге остается поток вектора  через всю поверхность .

Подставив полученное в неравенство (5.3) и сократив в правой части на , будем иметь:

.

Из последнего неравенства видно, что разность между переменной величиной  и постоянной величиной  по абсолютной величине становится меньше любого наперед заданного положительного числа . Поэтому, по определению предела переменной

.

Но предел интегральной суммы является, по определению, тройным интегралом от дивергенции вектора  по объему :

.

Поэтому

, то есть теорема доказана.

В ряде случаев бывает удобным записывать теорему Гаусса-Остроградского в координатной форме. Заменив дивергенцию  ее выражением по формуле (4.2), преобразуем равенство (5.1) к виду:

.

(5.4)

Теорема Гаусса-Остроградского широко применяется к решению задач.

Пример 5.1. Вычислим поток поля напряженности  точечного заряда q, помещенного в начале координат, через замкнутую поверхность S, не содержащую начала координат с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

В примере 4.1  было найдено, что во точках, где , . Поэтому по теореме Гаусса-Остроградского имеем:

.

В заключение применим теорему Гаусса-Остроградского к исследованию движения жидкости. Пусть в некотором объеме  течет жидкость плотности  и  – скорость течения, зависящая от координат , ,  и от времени .

Возьмем в потоке жидкости произвольную замкнутую поверхность . Поток вектора  через эту поверхность будет, очевидно, давать массу жидкости, вытекающей из объема, ограниченного поверхностью , за единицу времени. По теореме Гаусса-Остроградского имеем:

.

Ту же самую массу жидкости можно подсчитать и по-другому.

Величина  определяет скорость уменьшения массы, а  – уменьшение массы в объеме  за единицу времени. Тогда во всем объеме  масса уменьшится на величину . Поэтому

или

,

так как это условие выполняется для произвольного объема V, то подынтегральная функция должна равняться нулю:

.

(5.5)

Уравнение (5.5) является одним из основных уравнений гидродинамики, оно называется обычно уравнением неразрывности.

Запишем его в другой форме: так как  — скалярная функция, то согласно формуле (4.4) имеем:

.

Если х, у, z — координаты движущейся точки, то

; ; ,

поэтому

и уравнение неразрывности принимает вид:

Но первые четыре слагаемых дают полную производную функции  по : . Поэтому окончательно:

.

5.2. Криволинейный интеграл от вектора. Циркуляция вектора

Пусть имеем векторное поле, образованное вектором .

Рассмотрим некоторую произвольную кривую  в векторном поле (рисунок 5.3). Разобьем кривую  точками , , ,…, , ,…,  на частичные дуги. Пусть уравнение линии  задано в векторной форме:

.

На каждой из этих частичных дуг построим вектор приращения радиус-вектора:

и вычислим сумму скалярных произведений векторов  и :

,

где  означает число разбиений. Мы получим интегральную сумму. Предел полученной интегральной суммы при стремлении всех  к нулю называется криволинейным интегралом от вектора  по кривой  и обозначается :

.

(5.6)

Этот интеграл называют также линейным интегралом вектора  по кривой .

Определение 5.1. Если кривая L замкнутая, то криволинейный интеграл , называется циркуляцией вектора  по кривой L или по контуру L и обозначается:

.

(5.7)

При этом за положительное направление обхода кривой при принятой нами правой системе координат принимается направление против часовой стрелки (рисунок 5.4). Формула (5.7) выражает циркуляцию поля в векторном виде. Получим выражение циркуляции Г вектора  в координатной форме. Имеем:

;

;

.

Следовательно,

.

Циркуляция Г (5.7) принимает вид:

.

Физический смысл циркуляции поля.

Если вектор выражает силу, то  – элементарная работа, а

 – полная работа.

Поэтому физический смысл циркуляции – это работа поля на замкнутом контуре.

Циркуляции поля можно дать и другое физическое толкование.

Пусть вектор  физически изображает погонную силу, то есть силу, отнесенную к единице длины. Тогда произведение  будет изображать примерно величину силы в точке . Умножив её на , мы получим проекцию этой силы на направление .

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, каждое слагаемое

представляет проекцию силы на направление . В пределе вектор  в каждой точке  направлен по касательной к контуру . Поэтому циркуляция поля

в нашем случае представляет алгебраическую сумму сил, действующих на контур по направлению касательных к контуру (рисунок 5.5). При этом положительные слагаемые  (когда  – острый угол) вращают контур  в положительном направлении, а отрицательные слагаемые (когда  – тупой угол) вращают контур в отрицательном направлении.

Если , то контур L будет вращаться в положительном направлении. Если , то контур будет вращаться в отрицательном направлении.

Если  (что может быть, когда поле во всех точках перпендикулярно к L или сумма отрицательных и положительных слагаемых одинакова), то контур L вращаться не будет.

 

Таким образом, циркуляция поля по данному контуру характеризует вращательную способность поля на данном контуре.

Важно заметить, что циркуляция данного поля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в поле.

Пример 5.2. Найдем циркуляцию вектора  по контуру, состоящему из осей координат и первой четверти эллипса ,  (рисунок 5.6).

Контур L состоит из отрезков осей:  и  и дуги  эллипса. Обход по L будем совершать против часовой стрелки. Поэтому циркуляция Г будет равна:

.

(5.8)

Вычислим каждый из линейных интегралов правой части. На отрезке  оси  имеем , поэтому вектор  примет вид , на оси  , ,  и

.

На отрезке  оси  имеем , поэтому там вектор  равен ; радиус-вектор на оси : , ; ;

.

На дуге  эллипса ,  вектор

.

Радиус-вектор  на эллипсе

; ;

При движении по дуге АВ в направлении от  к  параметр  изменяется в пределах от 0 до . Поэтому

Подставляя значения линейных интегралов в равенство (5.8), получим:

.

К содержанию

Закажи рекламу на Rambler.ru, Mail.ru, Aport.ru!
От 130 руб. за все!

 

 

bulletБиблиотека начинающего бизнесмена
bulletУчебная литература
bulletРефераты, курсовые и дипломные работы (бесплатная часть)
bulletРефераты, курсовые и дипломные работы (платные ресурсы)
bulletКонтрольные работы
bulletЭлектронный справочник по математике
bulletХудожественная литература
bulletФорматы электронных книг
bulletФотогалерея
bulletХудожественная галерея
bulletАнекдоты
bulletПрофессиональная вёрстка текстов
bulletОбмен ссылками
bulletКаталог сайтов
bulletВарианты оплаты

Специальное предложение типографиям!!! Профессиональная верстка текста. Примеры сверстанных книг можно увидеть в разделе "Библиотека сетевого маркетинга" (книги из формата Adobe PageMaker переведены в формат Acrobat Reader для удобства чтения).

Если Вы выбрали необходимую Вам курсовую или дипломную работу, здесь можно оформить её заказ или заказать новый реферат

Для желающих оставить свои предложения и замечания у нас работает  Гостевая книга

Желающих обсудить какие-либо вопросы, связанные с темой сайта, приглашаем на Форум

Здесь можно найти ссылки на те сайты интернета, которые кажутся нам наиболее интересными

Все материалы сайта охраняются законом об авторском праве. Частичная или полная перепечатка материалов сайта без разрешения администрации сайта строго запрещена!
С предложениями и вопросами просьба обращаться   admin@big-biblioteka.com
Последнее изменение: 29.10.2007

Rambler's Top100    HotLog    Находится в каталоге Апорт

Hosted by uCoz