К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

5. Теорема Гаусса-Остроградского.
Криволинейный интеграл от вектора,
циркуляция вектора

5.1. Теорема Гаусса-Остроградского

Одной из важнейших теорем векторного анализа является теорема Гаусса-Остроградского. Она устанавливает связь меж­ду потоком и дивергенцией векторного поля.

Пусть во всех точках объема  и на его границе  поле  определено и частные производные , ,  непрерывны. Тогда имеет место теорема.

Теорема 5.1. (Теорема Гаусса-Остроградского). Поток векторного поля через замкнутую поверхность  равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному поверхностью :

или

Доказательство. Пусть S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, во всех точках которого определено поле вектора  и частные производные , ,  непрерывны. Разобьем объем V на п элементарных объемов: . Пусть  – замкнутая поверхность, ограничивающая объем   (на рисунке 5.1 ). В каждом объеме  возьмем по точке  и определим в ней дивергенцию:

 .

Этот предел согласно теореме о дивергенции поля (теорема 4.1) существует. По определению предела переменной известно, что абсолютная величина разности между пределом и значением переменной становится, начиная с некоторого значения переменной меньше любого положительного числа .

Пусть  – любое положительное число, тогда  также любое положительное число. Выберем  настолько малым, чтобы выполнялись неравенства:

 .

Умножив на , получим:

 .

Просуммировав эти  неравенств, получим неравенство:

(в правой части  как постоянный сомножитель вынесен за знак суммы).

Заметим, что .

Далее, в сумме  все слагаемые, в которых интегралы берутся по поверхностям , лежащим внутри объема , взаимно уничтожаются и поэтому .

Действительно, пусть  – общая часть поверхностей объемов  и  (рисунок 5.2). Интеграл по поверхности  войдет и в интеграл  по , и в интеграл по , но направление внешних нормалей к  на поверхностях  и  будут противоположны, как это видно из рисунка 5.2, поэтому интегралы по  будут равны по величине, но противоположны по знаку, следовательно, при суммировании они уничтожатся. В итоге остается поток вектора  через всю поверхность .

Подставив полученное в неравенство (5.3) и сократив в правой части на , будем иметь:

.

Из последнего неравенства видно, что разность между переменной величиной  и постоянной величиной  по абсолютной величине становится меньше любого наперед заданного положительного числа . Поэтому, по определению предела переменной

.

Но предел интегральной суммы является, по определению, тройным интегралом от дивергенции вектора  по объему :

.

Поэтому

, то есть теорема доказана.

В ряде случаев бывает удобным записывать теорему Гаусса-Остроградского в координатной форме. Заменив дивергенцию  ее выражением по формуле (4.2), преобразуем равенство (5.1) к виду:

Теорема Гаусса-Остроградского широко применяется к решению задач.

Пример 5.1. Вычислим поток поля напряженности  точечного заряда q, помещенного в начале координат, через замкнутую поверхность S, не содержащую начала координат с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.

В примере 4.1  было найдено, что во точках, где , . Поэтому по теореме Гаусса-Остроградского имеем:

.

В заключение применим теорему Гаусса-Остроградского к исследованию движения жидкости. Пусть в некотором объеме  течет жидкость плотности  и  – скорость течения, зависящая от координат , ,  и от времени .

Возьмем в потоке жидкости произвольную замкнутую поверхность . Поток вектора  через эту поверхность будет, очевидно, давать массу жидкости, вытекающей из объема, ограниченного поверхностью , за единицу времени. По теореме Гаусса-Остроградского имеем:

.

Ту же самую массу жидкости можно подсчитать и по-другому.

Величина  определяет скорость уменьшения массы, а  – уменьшение массы в объеме  за единицу времени. Тогда во всем объеме  масса уменьшится на величину . Поэтому

или

,

так как это условие выполняется для произвольного объема V, то подынтегральная функция должна равняться нулю:

Уравнение (5.5) является одним из основных уравнений гидродинамики, оно называется обычно уравнением неразрывности.

Запишем его в другой форме: так как  — скалярная функция, то согласно формуле (4.4) имеем:

.

Если х, у, z — координаты движущейся точки, то

; ; ,

поэтому

и уравнение неразрывности принимает вид:

Но первые четыре слагаемых дают полную производную функции  по : . Поэтому окончательно:

.

5.2. Криволинейный интеграл от вектора. Циркуляция вектора

Пусть имеем векторное поле, образованное вектором .

Рассмотрим некоторую произвольную кривую  в векторном поле (рисунок 5.3). Разобьем кривую  точками , , ,…, , ,…,  на частичные дуги. Пусть уравнение линии  задано в векторной форме:

.

На каждой из этих частичных дуг построим вектор приращения радиус-вектора:

и вычислим сумму скалярных произведений векторов  и :

,

где  означает число разбиений. Мы получим интегральную сумму. Предел полученной интегральной суммы при стремлении всех  к нулю называется криволинейным интегралом от вектора  по кривой  и обозначается :

Этот интеграл называют также линейным интегралом вектора  по кривой .

Определение 5.1. Если кривая L замкнутая, то криволинейный интеграл , называется циркуляцией вектора  по кривой L или по контуру L и обозначается:

При этом за положительное направление обхода кривой при принятой нами правой системе координат принимается направление против часовой стрелки (рисунок 5.4). Формула (5.7) выражает циркуляцию поля в векторном виде. Получим выражение циркуляции Г вектора  в координатной форме. Имеем:

;

;

.

Следовательно,

.

Циркуляция Г (5.7) принимает вид:

.

Физический смысл циркуляции поля.

Если вектор выражает силу, то  – элементарная работа, а

 – полная работа.

Поэтому физический смысл циркуляции – это работа поля на замкнутом контуре.

Циркуляции поля можно дать и другое физическое толкование.

Пусть вектор  физически изображает погонную силу, то есть силу, отнесенную к единице длины. Тогда произведение  будет изображать примерно величину силы в точке . Умножив её на , мы получим проекцию этой силы на направление .

Таким образом, каждое слагаемое

представляет проекцию силы на направление . В пределе вектор  в каждой точке  направлен по касательной к контуру . Поэтому циркуляция поля

в нашем случае представляет алгебраическую сумму сил, действующих на контур по направлению касательных к контуру (рисунок 5.5). При этом положительные слагаемые  (когда  – острый угол) вращают контур  в положительном направлении, а отрицательные слагаемые (когда  – тупой угол) вращают контур в отрицательном направлении.

Если , то контур L будет вращаться в положительном направлении. Если , то контур будет вращаться в отрицательном направлении.

Если  (что может быть, когда поле во всех точках перпендикулярно к L или сумма отрицательных и положительных слагаемых одинакова), то контур L вращаться не будет.

Таким образом, циркуляция поля по данному контуру характеризует вращательную способность поля на данном контуре.

Важно заметить, что циркуляция данного поля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в поле.

Пример 5.2. Найдем циркуляцию вектора  по контуру, состоящему из осей координат и первой четверти эллипса ,  (рисунок 5.6).

Контур L состоит из отрезков осей:  и  и дуги  эллипса. Обход по L будем совершать против часовой стрелки. Поэтому циркуляция Г будет равна:

Вычислим каждый из линейных интегралов правой части. На отрезке  оси  имеем , поэтому вектор  примет вид , на оси  , ,  и

.

На отрезке  оси  имеем , поэтому там вектор  равен ; радиус-вектор на оси : , ; ;

.

На дуге  эллипса ,  вектор

.

Радиус-вектор  на эллипсе

; ;

При движении по дуге АВ в направлении от  к  параметр  изменяется в пределах от 0 до . Поэтому

Подставляя значения линейных интегралов в равенство (5.8), получим:

.

К содержанию