|
|
Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В. 5. Теорема Гаусса-Остроградского.
|
|
(5.1) |
или
|
(5.2) |
Доказательство. Пусть
S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем
V, во всех точках которого определено поле вектора
и
частные производные
,
,
непрерывны.
Разобьем объем V на п элементарных
объемов:
.
Пусть
–
замкнутая поверхность, ограничивающая объем
(на
рисунке 5.1
).
В каждом объеме
возьмем
по точке
и
определим в ней дивергенцию:
.
Этот предел согласно теореме о дивергенции
поля (теорема 4.1) существует. По определению предела переменной известно, что
абсолютная величина разности между пределом и значением переменной становится,
начиная с некоторого значения переменной меньше любого положительного числа
.
Пусть
–
любое положительное число, тогда
также
любое положительное число. Выберем
настолько
малым, чтобы выполнялись неравенства:
.
Умножив на
,
получим:
.
Просуммировав эти
неравенств,
получим неравенство:
|
(5.3) |
(в
правой части
как
постоянный сомножитель вынесен за знак суммы).
Заметим, что
.
Далее, в сумме
все
слагаемые, в которых интегралы берутся по поверхностям
,
лежащим внутри объема
,
взаимно уничтожаются и поэтому
.
Действительно, пусть
–
общая часть поверхностей объемов
и
(рисунок
5.2). Интеграл по поверхности
войдет
и в интеграл по
,
и в интеграл по
,
но направление внешних нормалей к
на
поверхностях
и
будут
противоположны, как это видно из рисунка 5.2, поэтому интегралы по
будут
равны по величине, но противоположны по знаку, следовательно, при суммировании
они уничтожатся. В итоге остается поток вектора
через
всю поверхность
.
Подставив полученное в неравенство (5.3) и
сократив в правой части на ,
будем иметь:
.
Из последнего неравенства видно, что
разность между переменной величиной
и
постоянной величиной
по
абсолютной величине становится меньше любого наперед заданного положительного
числа
.
Поэтому, по определению предела переменной
.
Но предел интегральной суммы является, по
определению, тройным интегралом от дивергенции вектора
по
объему
:
.
Поэтому
,
то есть теорема доказана.
В ряде случаев бывает удобным записывать
теорему Гаусса-Остроградского в координатной форме. Заменив дивергенцию
ее
выражением по формуле (4.2), преобразуем равенство (5.1) к виду:
|
(5.4) |
Теорема Гаусса-Остроградского широко применяется к решению задач.
Пример 5.1. Вычислим поток
поля напряженности точечного
заряда q, помещенного в начале координат, через
замкнутую поверхность S, не содержащую начала
координат с помощью теоремы Гаусса-Остроградского.
В примере 4.1 было найдено, что во точках,
где ,
.
Поэтому по теореме Гаусса-Остроградского имеем:
.
В заключение применим теорему
Гаусса-Остроградского к исследованию движения жидкости. Пусть в некотором объеме
течет
жидкость плотности
и
–
скорость течения, зависящая от координат
,
,
и
от времени
.
Возьмем в потоке жидкости произвольную
замкнутую поверхность .
Поток вектора
через
эту поверхность будет, очевидно, давать массу жидкости, вытекающей из объема,
ограниченного поверхностью
,
за единицу времени. По теореме Гаусса-Остроградского имеем:
.
Ту же самую массу жидкости можно подсчитать и по-другому.
Величина
определяет
скорость уменьшения массы, а
–
уменьшение массы в объеме
за
единицу времени. Тогда во всем объеме
масса
уменьшится на величину
.
Поэтому
или
,
так как это условие выполняется для произвольного объема V, то подынтегральная функция должна равняться нулю:
|
(5.5) |
Уравнение (5.5) является одним из основных уравнений гидродинамики, оно называется обычно уравнением неразрывности.
Запишем его в другой форме: так как
—
скалярная функция, то согласно формуле (4.4) имеем:
.
Если х, у, z — координаты движущейся точки, то
;
;
,
поэтому
и уравнение неразрывности принимает вид:
Но первые четыре слагаемых дают полную
производную функции по
:
.
Поэтому окончательно:
.
Пусть имеем
векторное поле, образованное вектором
.
Рассмотрим некоторую произвольную кривую
в
векторном поле (рисунок 5.3). Разобьем кривую
точками
,
,
,…,
,
,…,
на
частичные дуги. Пусть уравнение линии
задано
в векторной форме:
.
На каждой из этих частичных дуг построим вектор приращения радиус-вектора:
и вычислим сумму
скалярных произведений векторов и
:
,
где
означает
число разбиений. Мы получим интегральную сумму. Предел полученной интегральной
суммы при стремлении всех
к
нулю называется криволинейным интегралом от вектора
по
кривой
и
обозначается
:
|
(5.6) |
Этот интеграл называют также линейным
интегралом вектора по
кривой
.
Определение 5.1. Если
кривая L замкнутая, то криволинейный интеграл
,
называется циркуляцией вектора
по
кривой L или по контуру L
и обозначается:
|
(5.7) |
При этом за положительное направление
обхода кривой при принятой нами
правой системе координат принимается направление против часовой стрелки
(рисунок 5.4). Формула (5.7) выражает циркуляцию поля в векторном виде. Получим
выражение циркуляции Г вектора в
координатной форме. Имеем:
;
;
.
Следовательно,
.
Циркуляция Г (5.7) принимает вид:
.
Если вектор выражает силу, то
–
элементарная работа, а
–
полная работа.
Поэтому физический смысл циркуляции – это работа поля на замкнутом контуре.
Циркуляции поля можно дать и другое физическое толкование.
Пусть
вектор
физически
изображает погонную силу, то есть силу, отнесенную к единице длины. Тогда
произведение
будет
изображать примерно величину силы в точке
.
Умножив её на
, мы
получим проекцию этой силы на направление
.
Таким образом, каждое слагаемое
представляет
проекцию силы на направление .
В пределе вектор
в
каждой точке
направлен
по касательной к контуру
.
Поэтому циркуляция поля
в нашем случае
представляет алгебраическую сумму сил, действующих на контур по направлению
касательных к контуру (рисунок 5.5). При этом положительные слагаемые
(когда
–
острый угол) вращают контур
в
положительном направлении, а отрицательные слагаемые (когда
–
тупой угол) вращают контур в отрицательном направлении.
Если
,
то контур L будет вращаться в положительном
направлении. Если
,
то контур будет вращаться в отрицательном направлении.
Если
(что
может быть, когда поле во всех точках перпендикулярно к L
или сумма отрицательных и положительных слагаемых одинакова), то
контур L вращаться не будет.
Таким образом, циркуляция поля по данному контуру характеризует вращательную способность поля на данном контуре.
Важно заметить, что циркуляция данного поля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в поле.
Пример 5.2. Найдем циркуляцию
вектора по
контуру, состоящему из осей координат и первой четверти эллипса
,
(рисунок
5.6).
Контур L
состоит из отрезков осей: и
и
дуги
эллипса.
Обход по L будем совершать против часовой
стрелки. Поэтому циркуляция Г будет равна:
|
(5.8) |
Вычислим каждый из линейных интегралов
правой части. На отрезке оси
имеем
,
поэтому вектор
примет
вид
,
на оси
,
,
и
.
На отрезке
оси
имеем
,
поэтому там вектор
равен
;
радиус-вектор на оси
:
,
;
;
.
На дуге
эллипса
,
вектор
.
Радиус-вектор
на
эллипсе
;
;
При движении по дуге АВ в
направлении от к
параметр
изменяется
в пределах от 0 до
.
Поэтому
Подставляя значения линейных интегралов в равенство (5.8), получим:
.
Закажи рекламу
на Rambler.ru, Mail.ru, Aport.ru!
|