К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

6. Вихрь (ротор) поля. Свойства вихря.
Физический смысл вихря. Теорема Стокса

6.1. Вихрь (ротор) поля. Свойства вихря.
Физический смысл вихря.

Пусть векторное поле образовано вектором  и пусть М – любая точка поля (рисунок 6.1). Проведем через нее некоторую плоскость Р и одно из направлений нормали  к плоскости примем за положительное. Окружим точку М некоторым замкнутым контуром L, лежащим в плоскости Р, установим на нем положительное направление в соответствии с выбранным направлением нормали ; вычислим циркуляцию поля по контуру L:

.

Разделим циркуляцию на величину площади площадки, ограниченной контуром L:

.

Определение 6.1. Вихрем, или ротором, поля в точке M называется вектор, проекция которого на нормаль к площадке равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L, окружающему точку М, к площади S площадки, ограниченной контуром L, когда контур L стягивается к точке М:

( означает сокращение латинского слова rotor — «вихрь» «вращатель» и читается «ротор а»).

Формула (6.1) малопригодна для вычисления ротора. Докажем основную теорему о роторе, дающую возможность вычислять ротор.

Теорема 6.1. (О роторе поля). Если проекции вектора  непрерывны вместе со своими частными производными , , , то справедлива следующая формула:

Доказательство. Возьмем в поле  произвольную точку  и найдем в ней проекции вектора  на оси координат, то есть на направление векторов , , . Найдем, например, проекцию  на направление вектора  . Согласно определению, имеем:

.

где L — контур, лежащий в плоскости Р, перпендикулярной вектору  . Возьмем, например, в качестве L контур элементарного прямоугольника ABCD с длинами сторон ,  (рисунок 6.2) с центром в точке М. Вычислим циркуляцию поля по контуру ABCD:

На сторонах  и  ; на  , ,  изменяется от  до ; на , , а  изменяется в тех же пределах, что и на .

Поэтому

.

К подынтегральной разности применим теорему Лагранжа по переменной [1]:

, .

По теореме о среднем значении определенного интеграла[2] получим:

,

где  – некоторая внутренняя точка прямоугольника ABCD.

Аналогично вычисляется и вторая разность:

,

где  – некоторая другая внутренняя точка прямоугольника .

Подставляя полученное в равенство (6.3), будем иметь:

.

Площадь  как площадь прямоугольника. Поэтому,

.

Но так как согласно условию теоремы частные производные , ,  непрерывны, то

, ,

поэтому

.

Аналогично находятся проекции вектора  на направления векторов , :

,

.

Чтобы легче было запомнить, эту формулу записывают в
виде символического определителя:

где предполагается, что при раскрытии определителя (например, по элементам первой строки) операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки заменяются операциями дифференцирования (например, ).

Свойства вихря вектора

где С₁ и С₂ — постоянные числа.

Равенство (6.5) непосредственно доказывается применением формулы (6.2) к вектору  .

2. Вихрь постоянного вектора  равен нулю:

Равенство также следует из формулы (6.5)

где  – скалярная функция.

Действительно, запишем проекцию вихря вектора  на ось х:

так как  и  – проекции  на оси  и . Аналогично:

,

.

Следовательно, у векторов, стоящих в левой и правой частях равенства (6.7), проекции на все оси координат соответственно равны, а поэтому и векторы равны.

Физический смысл ротора.

В предыдущем пункте было показано, что циркуляция поля вектора  по данному контуру  характеризует вращательную способность поля на данном контуре L.

Отношение  характеризует вращательную способность поля на контуре, отнесенную к единице площади. Согласно определению вихря имеем:

.

Предел, стоящий в правой части, характеризует вращательную способность поля в точке М в направлении плоскости Р (рисунок 6.1). Пусть теперь нормаль  к плоскости Р, в которой расположен контур L, параллельна вектору : . Тогда

.

Для других направлений  , не параллельных вектору , величина

.

Следовательно, вектор  направлен по нормали к плоскости, в которой вращательная способность поля наибольшая; численное значение (модуль) вектора  характеризует вращательную способность поля в точке М плоскости Р, перпендикулярной вектору  – в этом физический смысл вихря поля.

Пример 6.1. Найдем вихрь поля линейных скоростей  точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью , , где  радиус-вектор точки.

Вектор  в координатной форме, учитывая, что

, ,

запишется так:

.

Согласно формуле (6.4)  равен:

При вычислении определителя мы предполагали, что , а поэтому все частные производные от проекции этого вектора на все оси равны нулю.

Таким образом, , что вполне согласуется с указанным выше физическим смыслом вектора .

6.2. Теорема Стокса

Теорема Стокса так же, как и теорема Гаусса-Остроградского, принадлежит к основным теоремам векторного анализа. Она устанавливает связь между циркуляцией поля по любому контуру L и потоком вихря поля через любую поверхность, ограниченную контуром L.

Теорема 6.2. (Теорема Стокса). Циркуляция поля  по контуру L равна потоку вихря поля через любую поверхность S, лежащую в векторном поле и имеющую своей границей контур L:

При этом предполагается, что на поверхности S все частные
производные первого порядка от функций а_х, а_у, а_z непрерывны.

Доказательство. Доказательство этой теоремы похоже на доказательство теоремы Гаусса-Остроградского.

Пусть на контур L натянута произвольная поверхность  (рисунок 6.3). Разобьём поверхность S на п элементарных площадок: , ,…, ,…, , ограниченных замкнутыми линиями , ,…, ,…, . В каждой из этих площадок возьмем точки , ,…, ,…,  и определим в каждой из этих точек M_k  проекции вихря поля на направление нормального вектора :

 .

Установив в предыдущем пункте формулу (6.2), мы доказали существование проекции вихря поля на любое направление, то есть существование предела:

 .

По определению предела переменной известно, что абсолютная величина разности между пределом и значениями перемен­енной становится, начиная с некоторого значения переменной, меньше любого положительного числа .

Пусть  – любое положительное число; тогда , где  – площадь заданной поверхности, также любое положительное число. Выберем  настолько малыми, чтобы выполнялись неравенства:

 .

Умножив на  и просуммировав, получим:

В правой части неравенства имеем:  – площадь поверхности, ограниченной , и, сократив на S, получим . Далее, в сумме  интегралы по всем линиям, лежащие внутри L, попарно уничтожаются, так как интегрирование по ним производится дважды в двух взаимно противоположных направлениях. Поэтому

.

Подставив полученное в неравенство (6.9), получим:

.

Из последнего неравенства видно, что разность между переменной величиной  и постоянной  становится меньше любого наперед заданного положительного числа . Поэтому из определения предела переменной следует:

.

Полученный здесь предел интегральной суммы есть поверхностный интеграл от скалярного произведения  по поверхности . А поэтому

, что и требовалось доказать.

Замечание. Дивергенция и вихрь векторного поля характеризуют свойства поля «в малом», то есть в достаточно малой области (точке) поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса характеризуют векторное поле «в целом», то есть в любых, не обязательно малых, областях.

Пример 6.2. Вычислим циркуляцию поля примера 5.2, пользуясь теоремой Стокса.

Определим вихрь поля:

.

По теореме Стокса . Отсюда заключаем сразу, что:

Тот же результат получен в примере 5.2, но по теореме Стокса сделали гораздо быстрей.

К содержанию