К содержанию

Составитель к.ф.-м.н. Подклетнова С.В.

7. Соленоидальное и потенциальное поля

7.1. Соленоидальное поле

Определение 7.1. Поле вектора  называется соленоидальным, если дивергенция вектора  в каждой точке поля равна нулю:

Из физического смысла дивергенции следует, что в соленоидальном поле нет ни источников, ни стоков. В соленоидальном поле векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться; они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.

В самом деле, выделим в поле векторную трубку – часть поля, ограниченную векторными линиями (рисунок 7.1). Пересечем векторную трубку двумя поперечными сечениями  и  и вычислим поток поля через замкнутую поверхность, образованную сечениями ,  и частью боковой поверхности трубки, заключенную между сечениями  и .

Так как , то по теореме Гаусса-Остроградского имеем:

или

.

На боковой поверхности  вектор  (так как вектор направлен по касательной к векторной линии и поэтому лежит в касательной плоскости к поверхности векторной трубки), поэтому , так как вектор  направлен по нормали  и ; . Отсюда:

.

В обоих интегралах направление нормалей на  и  берутся внешними по отношению к замкнутой поверхности S и на  (см. рисунок 7.1), внешняя нормаль направлена в сторону, противоположную направлению векторных линий, и потому имеем:

,

где в обоих интегралах, стоящих справа, вектор  направлен по нормали , направленной в сторону векторных линий.

Из предыдущего равенства получим:

.

Таким образом, мы показали, что поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение, то есть через любое поперечное сечение трубки проходит одно и то же число векторных линий, а поэтому векторные линии не возникают и не пропадают.

Пример 7.1. Поле электрической напряженности  соленоидально всюду, за исключением начала координат (ранее было показано, что всюду, где  ). Здесь векторными линиями являются лучи, выходящие из начала координат, – линии, уходящие в бесконечность.

7.2. Потенциальное поле

Определение 7.2. Поле вектора  называется потенциальным, если вектор  является градиентом некоторой скалярной функции :

Определение 7.3. Функция  называется в этом случае потенциальной функцией поля.

Лемма 7.1. Если  – потенциальная функция поля вектора , то , где  – любое постоянное число, тоже будет потенциальной.

Доказательство:

.

Справедливо и обратное утверждение.

Лемма 7.2. Если две функции  и  являются потенциальными функциями поля вектора , то они отличаются друг от друга только на постоянное слагаемое.

Доказательство:

Действительно, пусть  и , тогда , поэтому , где .

Итак, если  – какая-либо потенциальная функция поля вектора , то  – общий вид всех потенциальных функций вектора .

Определение 7.3. Если  – какая-либо потенциальная функция поля вектора , то функция  называется потенциалом поля вектора .

Пример 7.2. Поле напряженности  точечного заряда , помещенного в начале координат, является потенциальным полем, так как градиент скалярной функции  равен . В самом деле,

Функция  будет потенциалом поля напряженности.

Поле не всякого вектора будет потенциальным. Рассмотрим признак потенциальности поля.

Теорема 7.1. (Признак потенциальности поля). Для того, чтобы поле вектора  было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы вихрь этого поля равнялся нулю:

Доказательство. Необходимость. Пусть поле, образованное вектором , будет потенциальным, тогда согласно определению вектор , то есть

.

Откуда заключаем, что проекции вектора  равны:

.

Найдем вихрь поля.

так как смешанные производные от порядка дифференцирования не зависят (имеется, в виду, что как функция , так и ее производные – непрерывные функции в данном поле), то есть необходимость доказана.

Достаточность. Пусть вихрь поля равен нулю:

.

Отсюда заключаем:

Как известно из математического анализа, для того чтобы выражение

было бы полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (7.4). Но условия (7.4) выполняются, поэтому выражение (7.5) является полным дифференциалом  некоторой функции :

Полный дифференциал функции  равен:

.

откуда заключаем, что  и вектор  равен:

,

то есть поле вектора  потенциально. Достаточность доказана.

Свойства потенциального поля

1) Потенциальное поле вполне характеризуется лишь одной скалярной функцией , в то время как любое векторное поле   определяется тройкой скалярных функций , , .

2) Теорема 7.2. Циркуляция в потенциальном поле по любому контуру равна нулю.

Доказательство. Действительно, пусть поле вектора  – потенциально и пусть L – любой замкнутый контур,  – поверхность, натянутая на контур L, лежащая в поле вектора . По теореме Стокса можно записать:

.

По теореме 7.1 вихрь в потенциальном поле равен нулю, поэтому . Теорема доказана.

Замечание. Теорема 7.2 имеет место, если на любой поверхности, ограниченной контуром L, поле вектора  определено, непрерывно и имеет непрерывные производные от а_х, а_у, a_z, так как при этих условиях имеет место теорема Стокса. Если же циркуляция вычисляется по контуру, внутри которого векторное поле не везде существует (тогда теорема Стокса не имеет места), то она может быть и отлична от нуля. Убедимся в этом на следующем примере.

Пример 7.3. Магнитное поле напряженности  линейного тока  потенциально, так как

Потенциальная функция  для него равна:

.

Действительно,

Но циркуляция по окружности  не будет равна нулю. В самом деле, в точках окружности имеем  и поэтому:

.

Но, как известно из теории криволинейных интегралов  выражает площадь фигуры, ограниченной кривой L, поэтому  – как двойная площадь круга, учитывая это, получим .

Здесь циркуляция  потому, что в одной из внутренних точек контура – центре окружности – поле  не определено. Циркуляция же поля по любому контуру, внутри которого поле непрерывно вместе с производными проекций вектора , будет равна нулю.

3) Следствие. В потенциальном поле криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Действительно, соединим выбранные точки  и  двумя произвольными путями  и  (рисунок 7.2). Рассмотрим замкнутый контур

Циркуляция по нему:

.

По теореме 7.2 , поэтому

,

то есть следствие доказано.

Замечание, указанное выше, остается и для следствия. Теорема 7.1 дает возможность узнать, является ли векторное поле  потенциальным, а также вместе со следствием дает возможность найти потенциальную функцию.

4) Криволинейный интеграл потенциального поля на пути  М_ХМ₂ равен разности потенциальной функции в конечной и начальной точках этого пути.

Действительно, если зафиксировать некоторую точку , тогда по формуле (7.6)

, .

Если путь  выбрать так, чтобы проходил через точку  (рисунок 7.3), то

,

откуда

.

Эта формула напоминает известную формулу Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.

Таким образом, формула Ньютона—Лейбница переносится на криволинейные интегралы в потенциальном поле, только роль первообразной функции играет здесь потенциальная функция  поля .

К содержанию